Lösung 3.2:1

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
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{{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>|(*)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>|(*)}}
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i.e.
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d.h.
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
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und erhalten die Gleichung
und erhalten die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,</math>}}
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die, die Lösungen
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die die Lösungen
:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
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Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
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Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nicht falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch die Quadrierung der Gleichung.
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Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

Version vom 11:42, 10. Jun. 2009

Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung

\displaystyle x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}

Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.

Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung

\displaystyle x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,} (*)

d.h.

\displaystyle x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}

Wir benutzen quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align}

x^2-13x+40 &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,} \end{align}

und erhalten die Gleichung

\displaystyle \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,

die die Lösungen

  • \displaystyle x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,
  • \displaystyle x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}

hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen \displaystyle x=5 und \displaystyle x=8 die quadratische Glaichung erfüllen:

  • x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ and \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1
  • x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ and \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4

Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

  • x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ and \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1
  • x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ and \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2

Also ist \displaystyle x=5 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während \displaystyle x=8 eine Scheinlösung ist.

Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

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