Lösung 2.3:2e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
(Unterschied zwischen Versionen)
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| - | Die Gleichung kann daher | + | Die Gleichung kann daher als |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}=\frac{16}{25}\,\textrm{,}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}=\frac{16}{25}\,\textrm{,}</math>}} | ||
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:*<math>x+\tfrac{1}{5} = -\sqrt{\tfrac{16}{25}} = -\tfrac{4}{5}\,,</math> und wir bekommen <math>x = -\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}=-1\,\textrm{.}</math> | :*<math>x+\tfrac{1}{5} = -\sqrt{\tfrac{16}{25}} = -\tfrac{4}{5}\,,</math> und wir bekommen <math>x = -\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}=-1\,\textrm{.}</math> | ||
| - | Schließlich kontrollieren wir unsere Antwort, indem wir kontrollieren ob <math>x=-1</math> und <math>x=3/5</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllen | + | Schließlich kontrollieren wir unsere Antwort, indem wir kontrollieren, ob <math>x=-1</math> und <math>x=3/5</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllen |
:*''x'' = 1: <math>\ \text{Linke Seite} = 5\cdot (-1)^{2} + 2\cdot (-1) - 3 = 5 - 2 - 3 = 0 = \text{Rechte Seite,}</math> | :*''x'' = 1: <math>\ \text{Linke Seite} = 5\cdot (-1)^{2} + 2\cdot (-1) - 3 = 5 - 2 - 3 = 0 = \text{Rechte Seite,}</math> | ||
:*''x'' = 3/5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2} + 2\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) - 3 = 5\cdot\tfrac{9}{25} + \tfrac{6}{5} - \tfrac{3\cdot 5}{5} = 0 = \text{Rechte Seite.}</math> | :*''x'' = 3/5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2} + 2\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) - 3 = 5\cdot\tfrac{9}{25} + \tfrac{6}{5} - \tfrac{3\cdot 5}{5} = 0 = \text{Rechte Seite.}</math> | ||
Version vom 12:31, 9. Jun. 2009
Wir schreiben die Gleichung auf Normalform, indem wir alle Terme durch 5 dividieren,
| \displaystyle x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5}=0\,\textrm{.} |
Wir führen die quadratische Ergänzung auf der linken Seite aus
| \displaystyle \begin{align}
x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5} &= \Bigl(x+\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{3}{5}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \frac{3}{5}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \frac{1}{25} - \frac{3\cdot 5}{25}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \frac{16}{25}\,\textrm{.} \end{align} |
Die Gleichung kann daher als
| \displaystyle \left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}=\frac{16}{25}\,\textrm{,} |
geschrieben werden, und hat daher die Wurzeln
- \displaystyle x+\tfrac{1}{5} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5} nachdem \displaystyle \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2} = \tfrac{16}{25}\,, und wir bekommen \displaystyle x=-\tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{3}{5},
- \displaystyle x+\tfrac{1}{5} = -\sqrt{\tfrac{16}{25}} = -\tfrac{4}{5}\,, und wir bekommen \displaystyle x = -\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}=-1\,\textrm{.}
Schließlich kontrollieren wir unsere Antwort, indem wir kontrollieren, ob \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=3/5 die ursprüngliche Gleichung erfüllen
- x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5\cdot (-1)^{2} + 2\cdot (-1) - 3 = 5 - 2 - 3 = 0 = \text{Rechte Seite,}
- x = 3/5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2} + 2\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) - 3 = 5\cdot\tfrac{9}{25} + \tfrac{6}{5} - \tfrac{3\cdot 5}{5} = 0 = \text{Rechte Seite.}
