Lösung 2.2:9c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
(Sprache und Formulierung) |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | Wir zeichnen zuerst die Gebiete die durch die drei Ungleichungen entstehen. | + | Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen. |
{| align="center" | {| align="center" | ||
| Zeile 13: | Zeile 13: | ||
|} | |} | ||
| - | Das Dreieck ist das Gebiet | + | Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist. |
| Zeile 19: | Zeile 19: | ||
| - | Als | + | Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind. |
| - | Die drei Ecken müssen jeweils die | + | Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen |
{{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad | {{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad | ||
| Zeile 30: | Zeile 30: | ||
<ol> | <ol> | ||
| - | <li>Das erste Gleichungssystem lösen wir indem wir die beiden Gleichungen addieren | + | <li>Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren |
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | {| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | ||
|| | || | ||
| Zeile 102: | Zeile 102: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}} | ||
| - | berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante | + | berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist. |
[[Image:2_2_9_c-4(5).gif|center]] | [[Image:2_2_9_c-4(5).gif|center]] | ||
| - | Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist | + | Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}} | ||
| - | Die Schnittstelle, | + | Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1). |
| - | Jetzt können wir einfach die Flächen | + | Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen |
| Zeile 147: | Zeile 147: | ||
| - | Schließlich addieren wir die Flächen der beiden | + | Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}} | ||
Version vom 10:05, 9. Jun. 2009
Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.
 |  |
| Das Gebiet x + y ≥ -2 | Das Gebiet 2x - y ≤ 2 |
 | |
| Das Gebiet 2y - x ≤ 2 |
Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.
Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.
Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen
| \displaystyle (1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{and}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right. |
- Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
So erhalten wir also \displaystyle x=0, und von der Gleichung \displaystyle x+y=-2 erhalten wir \displaystyle y=-2.\displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2 \displaystyle +\ \ \displaystyle 2x \displaystyle {}-{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
\displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0 - Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
Wir erhalten also \displaystyle y=0 und \displaystyle x=-2.\displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2 \displaystyle +\ \ \displaystyle -x \displaystyle {}+{} \displaystyle 2y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
\displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0 - Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir y in der zweiten Gleichung mit \displaystyle 2x-2 ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach x in die erste Gleichung einsetzen.
Und also ist \displaystyle y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}\displaystyle -x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}
Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).
Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung
| \displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} |
berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur x- oder y-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der y-Achse ist.
Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade \displaystyle 2y-x=\text{2 } und der y-Achse ist
| \displaystyle \left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right. |
Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).
Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen
| 
| |||||
| Basis | = | 1 - (-2) = 3 | Basis | = | 1 - (-2) = 3 | |
| Höhe | = | 0 - (-2) = 2 | Höhe | = | 2 - 0 = 2 | |
| Fläche | = | ½·3·2 = 3 | Fläche | = | ½·3·2 = 3 | |
Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:
| \displaystyle \text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.} |
