4.1 Winkel und Kreise

Beispiel 1

1. 30=301=30180  rad =6  rad
2. 8  radians =8(1rad)=8180=225

Beispiel 2

1. Die Winkeln −55 und 665 repräsentieren denselben Punkt, nachdem

   −55+2360=665.

2. Die Winkeln 73 und −711 repräsentieren denselben Punkt, nachdem

   73−2=−711.

3. Die Winkeln 36 und 216 repräsentieren nicht denselben Punkt, nachdem

   36+180=216.

Beispiel 3

Wir erhalten c durch den Satz des Pythagoras: c2=32+42=9+16=25 und daher ist c=25=5.

Beispiel 4

1. Der Abstand zwischen (12) und (31) ist

   d=(1−3)2+(2−1)2=(−2)2+12=4+1=5.

2. Der Abstand zwischen (−10) und (−2−5) ist

   d=(−1−(−2))2+(0−(−5))2=12+52=1+25=26.

Beispiel 5

1. Laut Definition des Radianten ist die Länge des Kreisbogens der Winkel in Radianten multipliziert mit dem Radius,

   3185 units =65  Einheiten .

2. Bestimmen sie die Fläche des Kreissektors
   
   Der Kreissektor nimmt den Anteil

   50360=536

   der Fläche des Kreises ein. Deshalb ist die Fläche des Kreissektors 536 von der ganzen Fläche des Kreises, welche r2=32=9 ist. Also ist die Fläche des Kreissektors

   5369  Einheiten =45  Einheiten.

Beispiel 6

Beispiel 7

1. Liegt der Punkt \displaystyle (1,2) auf dem Kreis \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?
   
   Wir kontrollieren, ob \displaystyle x=1 und \displaystyle y=2 die Gleichung des Kreises erfüllen

   \displaystyle \begin{align*} \mbox{Linke Seite } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{Rechte Seite}\,\mbox{.} \end{align*}

   Nachdem der Punkt die Gleichung des Kreises erfüllt, liegt er auf dem Kreis.

   

2. Bestimmen Sie die Gleichung für den Kreis, der den Mittelpunkt \displaystyle (3,4) hat und durch den Punkt \displaystyle (1,0) geht.
   
   Nachdem der Punkt \displaystyle (1,0) auf dem Kreis liegt, muss der Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt \displaystyle (3,4) der Radius des Kreises sein. Also haben wir

   \displaystyle c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}

   Und die Gleichung des Kreises ist daher

   \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

   

Beispiel 8

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.

Wir wollen die Gleichung des Kreises auf die Form

bringen. Dann können wir den Mittelpunkt direkt als \displaystyle (a,b) ablesen, und den Radius als \displaystyle r.

Wir benutzen zuerst die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle x-Terme auf der linken Seite

 \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(Wir haben nur die unterstrichenen Terme manipuliert)

Jetzt benutzen wir die quadratische Ergänzung für alle \displaystyle y-Terme

 (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Die linke Seite ist also

Wenn wir 4 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir

Also hat der Kreis den Mittelpunkt \displaystyle (1,-2) und den Radius \displaystyle \sqrt{4}= 2.