2.3 Quadratische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 23: Zeile 23:
*Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
*Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
* Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
* Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
-
* Den kleinsten und höchsten Wert eines Quadratischen Ausdruckes zu finden.
+
* Den kleinsten und höchsten Wert eines quadratischen Ausdruckes zu finden.
-
* Parabeln zeichnen, durch quadratische Ergänzung.
+
* Parabeln zeichnen mittels der quadratische Ergänzung.
}}
}}
Zeile 54: Zeile 54:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ (x-1)^2 = 16</math>. <br><br>
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ (x-1)^2 = 16</math>. <br><br>
-
Indem wir zuerst <math>x-1</math> betrachten, sehen wir dass
+
Indem wir zuerst <math>x-1</math> betrachten, sehen wir, dass
*<math>x-1 =\sqrt{16} = 4\,</math> und also <math>x=1+4=5</math>,
*<math>x-1 =\sqrt{16} = 4\,</math> und also <math>x=1+4=5</math>,
*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> und also <math>x=1-4=-3</math>. </li>
*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> und also <math>x=1-4=-3</math>. </li>
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
-
Wir addieren <math>8</math> zu beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach mit <math>2</math>,
+
Wir addieren <math>8</math> auf beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach durch <math>2</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
Die Wurzeln sind
Die Wurzeln sind
Zeile 73: Zeile 73:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Quadratische Ergänzung:'''
+
'''Die quadratische Ergänzung:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
</div>
</div>
Zeile 82: Zeile 82:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
-
Wir benutzen quadratische Ergänzung: <math>x^2+2x</math> (hier ist also <math>a=1</math>)
+
Wir benutzen die quadratische Ergänzung: <math>x^2+2x</math> (hier ist also <math>a=1</math>)
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
-
wo wir bei den unterstrichenen Termen quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie
+
wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln
geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln
Zeile 106: Zeile 106:
'''Hinweis: '''
'''Hinweis: '''
-
Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung substituieren. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zum kontrollieren:
+
Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu kontrollieren:
* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
Zeile 112: Zeile 112:
* <math>x = -4</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
* <math>x = -4</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
-
In beide Fällen erhalten wir Linke Seite = Rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.
+
In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.
</div>
</div>
-
Mit quadratischer Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten
+
Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
hat die Lösungen
hat die Lösungen
Zeile 121: Zeile 121:
so lange die Ausdrücke in der Wurzel nicht negativ sind.
so lange die Ausdrücke in der Wurzel nicht negativ sind.
-
In manchen Fällen kann man eine Quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.
+
In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 128: Zeile 128:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
-
Wir können die linke Seite faktorisieren nachdem der Faktor <math>x</math> in allen Termen auftritt
+
Wir können die linke Seite faktorisieren, nachdem der Faktor <math>x</math> in allen Termen auftritt
:<math>x(x-4)=0</math>.
:<math>x(x-4)=0</math>.
-
Die Linke Seite der Gleichung ist null nur dann wenn einer ihrer Faktoren null ist.
+
Die linke Seite der Gleichung ist null nur dann, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
*<math>x =0,\quad</math> oder
*<math>x =0,\quad</math> oder
*<math>x-4=0\quad</math>. Dies ergibt die Lösungen <math>\quad x=4</math>.</li>
*<math>x-4=0\quad</math>. Dies ergibt die Lösungen <math>\quad x=4</math>.</li>

Version vom 11:07, 3. Jun. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Quadratische Ergänzung
  • Quadratische Funktionen
  • Faktorisierung
  • Parabeln

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen.
  • Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen, und die Lösungen kontrollieren.
  • Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
  • Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
  • Den kleinsten und höchsten Wert eines quadratischen Ausdruckes zu finden.
  • Parabeln zeichnen mittels der quadratische Ergänzung.

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann wie

\displaystyle x^2+px+q=0

geschrieben werden, wo \displaystyle x unbekannt ist, und \displaystyle p und \displaystyle q Konstanten sind.

Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man einfach Wurzeln berechnet.

Die Gleichung \displaystyle x^2=a wo \displaystyle a > 0, hat zwei Lösungen (Wurzeln), nämlich \displaystyle x=\sqrt{a} und \displaystyle x=-\sqrt{a}.

Beispiel 1

  1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
  2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann wie \displaystyle x^2=9 geschrieben werden, und hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
  3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann wie \displaystyle x^2=5 geschrieben werden, und hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
  4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine Wurzeln, nachdem die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 is, weil \displaystyle x^2 immer größer als 0 ist.

Beispiel 2

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.

    Indem wir zuerst \displaystyle x-1 betrachten, sehen wir, dass
    • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, und also \displaystyle x=1+4=5,
    • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, und also \displaystyle x=1-4=-3.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.

    Wir addieren \displaystyle 8 auf beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach durch \displaystyle 2,
    \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

    Die Wurzeln sind

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
    • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, muss man quadratische Ergänzung benutzen.

Die binomische Formel lautet

\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2

und subtrahieren wir \displaystyle a^2 von beiden Seiten bekommen wir

Die quadratische Ergänzung:

\displaystyle x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2

Beispiel 3

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.

    Wir benutzen die quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)
    \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

    wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

    \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

    geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
    • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.

    Wir dividieren zuerst beide Seiten mit 2
    \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

    Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

    \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1

    und dies ergibt die Gleichung

    \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

    mit den Wurzeln

    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Hinweis:

Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu kontrollieren:

  • \displaystyle x = 2 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.
  • \displaystyle x = -4 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.

In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.

Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten

\displaystyle x^2+px+q=0

hat die Lösungen

\displaystyle x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

so lange die Ausdrücke in der Wurzel nicht negativ sind.

In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.

Beispiel 4

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2-4x=0.

    Wir können die linke Seite faktorisieren, nachdem der Faktor \displaystyle x in allen Termen auftritt
    \displaystyle x(x-4)=0.
    Die linke Seite der Gleichung ist null nur dann, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
    • \displaystyle x =0,\quad oder
    • \displaystyle x-4=0\quad. Dies ergibt die Lösungen \displaystyle \quad x=4.


Quadratische Funktionen

Die Funktionen

\displaystyle \eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}

sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist

\displaystyle y=ax^2+bx+c

wo \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind, und \displaystyle a\ne0.

Die Funktionsgraphe einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Figuren zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von \displaystyle y=x^2 und \displaystyle y=-x^2.

[Image]

Die linke Figur zeigt die Parabel \displaystyle y=x^2 und die rechte Figur zeigt die Parabel \displaystyle y=-x^2.


Nachdem der \displaystyle x^2-Term minimal ist wenn \displaystyle x=0, hat die Parabel \displaystyle y=x^2 einen Tiefpunkt in \displaystyle x=0, und die Parabel \displaystyle y=-x^2 hat einen Tiefpunkt in \displaystyle x=0.

Die beiden Parabeln oben sind auch symmetrisch um die \displaystyle y-Achse, nachdem der wert von \displaystyle x^2 derselbe ist, egal ob \displaystyle x positiv oder negativ ist.

Beispiel 5

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=x^2-2.

    Im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2 hat diese Parabel(\displaystyle y=x^2-2) einen \displaystyle y-Wert der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel \displaystyle y=x^2 einfach zwei Einheiten herunter. \displaystyle y-direction.

[Image]

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=(x-2)^2.

    Für die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2 müssen wir den \displaystyle x-Wert um zwei Einheiten weniger wählen, als für die Parabel \displaystyle y=x^2, um denselben \displaystyle y-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2, die Parabel \displaystyle y=x^2 zwei Einheiten nach rechts verschoben.

[Image]

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=2x^2.

    Jeder Punkt auf der Parabel \displaystyle y=2x^2 hat, für denselben \displaystyle x-Wert, einen zwei Mal so großen \displaystyle y-Wert als die Parabel \displaystyle y=x^2. Also müssen wir die Parabel \displaystyle y=x^2 um einen Faktor \displaystyle 2 in der \displaystyle y-Richtung vergrößern, um die Parabel \displaystyle y=2x^2 zu bekommen.

[Image]

Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man sich von quadratischer Ergänzung benutzt.

Beispiel 6

Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=x^2+2x+2.


Wenn wir die linke Seite der Gleichung mit quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir

\displaystyle x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1

und sehen dass die Parabel \displaystyle y= (x+1)^2+1 um eine Einheit nach links, und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2.

[Image]

Beispiel 7

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, und der \displaystyle x-Achse.


Alle Punkte auf der \displaystyle x-Achse haben den \displaystyle y-Koordinaten 0. Die Punkte die auf der Parabel und auch auf der \displaystyle x-Achse liegen, haben also den \displaystyle y-Koordinaten 0, und erfüllen also die Gleichung

\displaystyle x^2-4x+3=0\mbox{.}

quadratische Ergänzung gibt

\displaystyle x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1

und schließlich

\displaystyle (x-2)^2= 1 \; \mbox{.}

Wir erhalten die Wurzeln

  • \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad, also \displaystyle \quad x=2+1=3,
  • \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad, also \displaystyle \quad x=2-1=1.

Die Schnittpunkte von der \displaystyle x-Achse und der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, sind \displaystyle (1,0) und \displaystyle (3,0).

[Image]

Beispiel 8

Bestimmen Sie den kleinsten Wert des Ausdruckes \displaystyle \,x^2+8x+19\,.


Wir verwenden quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3

und sehen hier dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate \displaystyle (x+4)^2 immer größer oder gleich 0 ist.

In der Figur unten sehen wir dass die Parabel \displaystyle y=x^2+8x+19 oberhalb der \displaystyle x-Achse liegt, und den kleinsten Wert 3 hat, wenn \displaystyle x=-4.

[Image]


Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Nehmen Sie sich viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall anders in der Mathematik vor.


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about quadratic equations in the English Wikipedia

Learn more about quadratic equations in mathworld

101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin


Nützliche Websites

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.3_Quadratische_Gleichungen“