Lösung 4.4:6b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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After moving the terms over to the left-hand side, so that
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Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>}}
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we see that we can take out a common factor <math>\cos x</math>,
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wo wir den Faktor <math>\cos x</math> herausziehen können,
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
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and that the equation is only satisfied if at least one of the factors <math>\cos x</math> or <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> is zero. Thus, there are two cases:
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Die Gleichung ist nur erfüllt wenn einer der Faktoren <math>\cos x</math> oder <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> null ist. Also gibt es zwei Fälle:
<math>\cos x=0:</math>
<math>\cos x=0:</math>
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This basic equation has solutions <math>x=\pi/2</math> and <math>x=3\pi/2</math> in the unit circle, and from this we see that the general solution is
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Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x=\pi/2</math> und <math>x=3\pi/2</math> im Einheitskreis, und die allgemeine Lösung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer. Because the angles <math>\pi/2</math> and
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Nachdem sich die Winkeln <math>\pi/2</math> und
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<math>3\pi/2</math> differ by <math>\pi</math>, the solutions can be summarized as
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<math>3\pi/2</math> nur mit <math>\pi</math> unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
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If we rearrange the equation, we obtain the basic equation as <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math>, which has the solutions <math>x=\pi/4</math> and <math>x=3\pi /4</math> in the unit circle and hence the general solution
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Die Gleichung entspricht <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math>, mit den Lösungen <math>x=\pi/4</math> und <math>x=3\pi /4</math> im Einheitskreis, und den allgemeinen Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 
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Also hat die Gleichung die Lösungen
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All in all, the original equation has the solutions
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Version vom 11:32, 7. Apr. 2009

Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0

wo wir den Faktor \displaystyle \cos x herausziehen können,

\displaystyle \cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0

Die Gleichung ist nur erfüllt wenn einer der Faktoren \displaystyle \cos x oder \displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 null ist. Also gibt es zwei Fälle:


\displaystyle \cos x=0:

Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=\pi/2 und \displaystyle x=3\pi/2 im Einheitskreis, und die allgemeine Lösung ist

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,

Nachdem sich die Winkeln \displaystyle \pi/2 und \displaystyle 3\pi/2 nur mit \displaystyle \pi unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,



\displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 = 0:

Die Gleichung entspricht \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2}, mit den Lösungen \displaystyle x=\pi/4 und \displaystyle x=3\pi /4 im Einheitskreis, und den allgemeinen Lösungen

\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,


Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.

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