Lösung 4.4:5b

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Let's first investigate when the equality
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Wir betrachten zuerst die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan u=\tan v</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan u=\tan v</math>}}
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is satisfied. Because <math>\tan u</math> can be interpreted as the slope (gradient) of the line which makes an angle ''u'' with the positive ''x''-axis, we see that for a fixed value of <math>\tan u</math>, there are two angles ''v'' in the unit circle with this slope,
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Diese Gleichungist erfüllt wenn
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{and}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}</math>}}
[[Image:4_4_5_b.gif|center]]
[[Image:4_4_5_b.gif|center]]
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The angle ''v'' has the same slope after every half turn, so if we add multiples of
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Die allgemeine Lösung ist
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<math>\pi</math> to ''u'', we will obtain all the angles ''v'' which satisfy the equality
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+n\pi\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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Für unsere Gleichung
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If we apply this result to the equation
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tan x=\tan 4x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan x=\tan 4x</math>}}
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we see that the solutions are given by
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erhalten wir die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>4x = x+n\pi\qquad\text{(n is an arbitrary integer),}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>4x = x+n\pi </math>}}
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and solving for ''x'' gives
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Lösen wir diese Gleichung für ''x'' erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \tfrac{1}{3}n\pi\qquad\text{(n is an arbitrary integer).}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \tfrac{1}{3}n\pi</math>}}

Version vom 11:18, 7. Apr. 2009

Wir betrachten zuerst die Gleichung

\displaystyle \tan u=\tan v

Diese Gleichungist erfüllt wenn

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}

Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle v=u+n\pi\,,

Für unsere Gleichung

\displaystyle \tan x=\tan 4x

erhalten wir die Lösungen

\displaystyle 4x = x+n\pi

Lösen wir diese Gleichung für x erhalten wir

\displaystyle x = \tfrac{1}{3}n\pi
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