Lösung 4.4:2f

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Using the unit circle shows that the equation <math>\cos 3x = -1/\!\sqrt{2}</math>
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Durch den Einheitskreis sehen wir dass die Gleichung <math>\cos 3x = -1/\!\sqrt{2}</math> zwei Lösungen im Intervall <math>0\le 3x\le 2\pi\,</math> hat,
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has two solutions for <math>0\le 3x\le 2\pi\,</math>,
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\qquad\text{and}\qquad 3x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\qquad\text{und}\qquad 3x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\,\textrm{.}</math>}}
[[Image:4_4_2_f.gif|center]]
[[Image:4_4_2_f.gif|center]]
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We obtain the other solutions by adding multiples of <math>2\pi</math>,
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Wir addieren einen Multipel von <math>2\pi</math> um die allgemeine Lösung zu erhalten,
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{and}\qquad 3x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 3x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,</math>}}
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i.e.
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oder, nach Division durch 3,
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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Version vom 21:17, 5. Apr. 2009

Durch den Einheitskreis sehen wir dass die Gleichung \displaystyle \cos 3x = -1/\!\sqrt{2} zwei Lösungen im Intervall \displaystyle 0\le 3x\le 2\pi\, hat,

\displaystyle 3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\qquad\text{und}\qquad 3x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\,\textrm{.}

Wir addieren einen Multipel von \displaystyle 2\pi um die allgemeine Lösung zu erhalten,

\displaystyle 3x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 3x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,

oder, nach Division durch 3,

\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{3}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2}{3}n\pi\,,
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.4:2f“