Lösung 4.4:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We draw a unit circle and mark those angles on the circle which have a ''y''-coordinate of <math>\sqrt{3}/2</math>, in order to see which solutions lie between
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Wir zeichnen den Einheitskreis, und markieren alle Winkeln die die 'y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.
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<math>0</math> and <math>2\pi</math>.
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[[Image:4_4_2_a.gif|center]]
[[Image:4_4_2_a.gif|center]]
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In the first quadrant, we recognize <math>x = \pi/3</math> as the angle which has a sine value of <math>\sqrt{3}/2</math> and then we have the reflectionally symmetric solution <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> in the second quadrant.
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Im ersten Quadrant wissen wir dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung in der ''y''-Achse denselben Sinus, und also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.
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Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of <math>2\pi</math>
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Addieren wir einen Multipel von <math>2\pi</math> zu irgendeiner dieser Winkeln, ändert sich nicht deren Sinus.
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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wo ''n'' eine beliebige ganze Zahl ist.
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Hinweis: Schreiben wir
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Note: When we write that the complete solution is given by
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}
+
heißt dies dass die Gleichung für jedes ''n'' erfüllt ist, und also für die Winkeln:
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this means that for every integer ''n'', we obtain a solution to the equation:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{array}{llll}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{array}{llll}

Version vom 21:03, 5. Apr. 2009

Wir zeichnen den Einheitskreis, und markieren alle Winkeln die die 'y-Koordinate \displaystyle \sqrt{3}/2 haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi.

Im ersten Quadrant wissen wir dass \displaystyle x = \pi/3 den Sinus \displaystyle \sqrt{3}/2 hat. Noch dazu hat die Spiegelung in der y-Achse denselben Sinus, und also ist \displaystyle x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3 auch eine Lösung.

Addieren wir einen Multipel von \displaystyle 2\pi zu irgendeiner dieser Winkeln, ändert sich nicht deren Sinus.

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,

wo n eine beliebige ganze Zahl ist.

Hinweis: Schreiben wir

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}

heißt dies dass die Gleichung für jedes n erfüllt ist, und also für die Winkeln:

\displaystyle \begin{array}{llll}

&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt] &n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+1\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+1\cdot 2\pi\\[5pt] &n=-2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+2\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\pi\\[5pt] &\phantom{n}\vdots &\phantom{x}\vdots &\phantom{x}\vdots \end{array}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.4:2a“