Lösung 4.3:7a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Nachdem ''x'' und ''y'' Winkeln im ersten Quadrant sind, sind <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> positiv, und wir erhalten dadurch | Nachdem ''x'' und ''y'' Winkeln im ersten Quadrant sind, sind <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> positiv, und wir erhalten dadurch | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}</math>}} |
Schließlich erhalten wir | Schließlich erhalten wir | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}</math>}} | ||
Version vom 13:09, 5. Apr. 2009
Durch das Additionstheorem erhalten wir
| \displaystyle \sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.} |
Weiterhin ist es möglich die Terme \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y in Termen von \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y zu schreiben, mit dem Gesetz des Pythagoras
| \displaystyle \begin{align}
\cos x &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!x} = \pm \sqrt{1-(2/3)^2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}\,,\\[5pt] \cos y &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!y} = \pm \sqrt{1-(1/3)^{2}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.} \end{align} |
Nachdem x und y Winkeln im ersten Quadrant sind, sind \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y positiv, und wir erhalten dadurch
| \displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.} |
Schließlich erhalten wir
| \displaystyle \sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.} |
