Lösung 3.4:2b

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If we write the equation as
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Wir schreiben die Gleichung wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}
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we see that <math>x</math> appears only in the combination <math>e^{x}</math> and it is therefore appropriate to treat <math>e^{x}</math> as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of <math>e^{x}</math>, we can calculate the corresponding value of <math>x</math> by simply taking the logarithm.
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und sehen dass <math>x</math> nur in den <math>e^{x}</math>-Termen vorkommt, und daher betrachten wir <math>e^{x}</math> als unbekannter Variabel. Wenn wir <math>e^{x}</math> bestimmt haben, bestimmen wir <math>x</math> indem wir die Gleichung logarithmieren.
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For clarity, we set <math>t=e^{x}</math>, so that the equation can be written as
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Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir <math>t=e^{x}</math>, und erhalten so die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t=4</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t=4</math>}}
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and we solve this second-degree equation by completing the square,
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Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,
{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}
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which gives
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und wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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These two roots give us two possible values for <math>e^{x}</math>,
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Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für <math>e^{x}</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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In the first case, the right-hand side is negative and because "''e'' raised to anything" can never be negative, there is no ''x'' that can satisfy this equality. The other case, on the other hand, has a positive right-hand side (because
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Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die Linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.
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<math>\sqrt{17}>1</math>) and we can take the logarithm of both sides to obtain
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Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir ob <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> die Gleichung <math>t^2+t=4</math> erfüllt,
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Note: It is a little tricky to check the answer to the original equation, so we can be satisfied with substituting <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> into the equation <math>t^2+t=4</math>,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{LHS}
+
\text{Linke Seite}
&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]
&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]
&= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt]
&= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt]
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&=\frac{16}{4}\\[5pt]
&=\frac{16}{4}\\[5pt]
&= 4\\[5pt]
&= 4\\[5pt]
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&= \text{RHS.}
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&= \text{Rechte Seite.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Version vom 16:39, 27. Mär. 2009

Wir schreiben die Gleichung wie

\displaystyle \bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4

und sehen dass \displaystyle x nur in den \displaystyle e^{x}-Termen vorkommt, und daher betrachten wir \displaystyle e^{x} als unbekannter Variabel. Wenn wir \displaystyle e^{x} bestimmt haben, bestimmen wir \displaystyle x indem wir die Gleichung logarithmieren.

Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir \displaystyle t=e^{x}, und erhalten so die Gleichung

\displaystyle t^{2}+t=4

Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,

\displaystyle t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,

und wir erhalten

\displaystyle \Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}

Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für \displaystyle e^{x},

\displaystyle e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}

Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die Linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung. Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten

\displaystyle x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}

Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir ob \displaystyle t=\sqrt{17}/2-1/2 die Gleichung \displaystyle t^2+t=4 erfüllt,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{17+1-2}{4}\\[5pt] &=\frac{16}{4}\\[5pt] &= 4\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.} \end{align}

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