Lösung 3.4:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The left-hand side is "2 raised to something", and therefore a positive number regardless of whatever value the exponent has. We can therefore take the log of both sides,
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Die linke Seite der Gleichung ist "2 hoch irgendetwas", und also immer positiv. Daher können wir beide Seiten logarithmieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,,</math>}}
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and use the log law <math>\ln a^b = b\cdot \ln a</math> to get the exponent <math>x^2-2</math> as a factor on the left-hand side,
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Wir verwenden das Logarithmusgesetz <math>\ln a^b = b\cdot \ln a</math> und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}</math>}}
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Because <math>e^{0}=1</math>, so <math>\ln 1 = 0</math>, giving
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Nachdem <math>e^{0}=1</math> ist <math>\ln 1 = 0</math>, und wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}</math>}}
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This means that ''x'' must satisfy the second-degree equation
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Also muss ''x'' die quadratische Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Taking the root gives <math>x=-\sqrt{2}</math> or <math>x=\sqrt{2}\,</math>.
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erfüllen. Diese Gleichung hat die Wurzeln <math>x=-\sqrt{2}</math> und <math>x=\sqrt{2}\,</math>.
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Note: The exercise is taken from a Finnish upper-secondary final examination from March 2007.
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Diese Übung stammt von einer Finnischen Maturaprüfung im März 2007.

Version vom 16:31, 27. Mär. 2009

Die linke Seite der Gleichung ist "2 hoch irgendetwas", und also immer positiv. Daher können wir beide Seiten logarithmieren,

\displaystyle \ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,,

Wir verwenden das Logarithmusgesetz \displaystyle \ln a^b = b\cdot \ln a und erhalten

\displaystyle \bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}

Nachdem \displaystyle e^{0}=1 ist \displaystyle \ln 1 = 0, und wir erhalten

\displaystyle (x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}

Also muss x die quadratische Gleichung

\displaystyle x^2-2 = 0\,\textrm{.}

erfüllen. Diese Gleichung hat die Wurzeln \displaystyle x=-\sqrt{2} und \displaystyle x=\sqrt{2}\,.


Diese Übung stammt von einer Finnischen Maturaprüfung im März 2007.

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