Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Version vom 17:05, 13. Mär. 2009

Wir zeichnen zuerst die Gebiete die durch die drei Ungleichungen entstehen.

Das Gebiet x + y ≥ -2	Das Gebiet 2x - y ≤ 2
Das Gebiet 2y - x ≤ 2

Das Dreieck ist das Gebiet dass wo die Punkte alle dre Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet das alle grau gefärbten Gebiete enthält.

Als erster Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die also auch die Ecken des Dreiecks sind.

Die drei Ecken müssen jeweils die Drei Gleichungssysteme unten erfüllen

\displaystyle (1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad (2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{and}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.

1. Das erste Gleichungssystem lösen wir indem wir die beiden Gleichungen addieren

   	\displaystyle x	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y	\displaystyle {}={}	\displaystyle -2
   \displaystyle +\ \	\displaystyle 2x	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y	\displaystyle {}={}	\displaystyle 2
   	\displaystyle 3x			\displaystyle {}={}	\displaystyle 0

   So erhalten wir also \displaystyle x=0, und von der Gleichung \displaystyle x+y=-2 erhalten wir \displaystyle y=-2.
2. Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren

   	\displaystyle x	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y	\displaystyle {}={}	\displaystyle -2
   \displaystyle +\ \	\displaystyle -x	\displaystyle {}+{}	\displaystyle 2y	\displaystyle {}={}	\displaystyle 2
   			\displaystyle 3x	\displaystyle {}={}	\displaystyle 0

   Wir erhalten also \displaystyle y=0 und \displaystyle x=-2.
3. Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir y in der zweiten Gleichung mit \displaystyle 2x-2 ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach x in die erste Gleichung einsetzen.

   \displaystyle -x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}

   Und also ist \displaystyle y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}

Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).

Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}

berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der x- oder y-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der y-Achse ist.

Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade \displaystyle 2y-x=\text{2 } und der y-Achse ist

\displaystyle \left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.

Die Schnittstelle, und der Punkt A, ist also (0,1).

Jetzt können wir einfach die Flächen des beiden Dreiecken berechnen

Basis	=	1 - (-2) = 3		Basis	=	1 - (-2) = 3
Höhe	=	0 - (-2) = 2		Höhe	=	2 - 0 = 2
Fläche	=	½·3·2 = 3		Fläche	=	½·3·2 = 3

Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:

\displaystyle \text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}