Lösung 2.2:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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First, we move all the terms over to the left-hand side,
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Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x}{4x-7}-\frac{1}{2x-3}-1=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x}{4x-7}-\frac{1}{2x-3}-1=0\,\textrm{.}</math>}}
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Then, we multiply the top and bottom of all three terms by appropriate factors so that they have the same common denominator, in the following way,
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Danach erweitern wir alle Terme sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x}{4x-7}\cdot\frac{2x-3}{2x-3} - \frac{1}{2x-3}\cdot\frac{4x-7}{4x-7} - \frac{(2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)} = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x}{4x-7}\cdot\frac{2x-3}{2x-3} - \frac{1}{2x-3}\cdot\frac{4x-7}{4x-7} - \frac{(2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)} = 0</math>}}
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and so that we can rewrite the left-hand side giving
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und schreiben die linke Seite der Gleichung wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x(2x-3) - (4x-7) - (2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{4x(2x-3) - (4x-7) - (2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}</math>}}
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We expand the numerator
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Wir erweitern den Zähler
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{8x^{2}-12x-(4x-7)-(8x^{2}-14x-12x+21)}{(2x-3)(4x-7)} = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{8x^{2}-12x-(4x-7)-(8x^{2}-14x-12x+21)}{(2x-3)(4x-7)} = 0</math>}}
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and simplify
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und vereinfachen ein wenig
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{10x-14}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{10x-14}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}</math>}}
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This equation is satisfied when the numerator is zero (provided the denominator is not also zero) and this happens when
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Hier muss der Zähler null sein damit die Gleichung erfüllt sein soll
{{Abgesetzte Formel||<math>10x-14=0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>10x-14=0\,,</math>}}
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which gives <math>x=7/5\,</math>.
+
Dies ergibt <math>x=7/5\,</math>.
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It can easily happen that we calculate incorrectly, so we check that the answer <math>x=7/5</math> satisfies the equation,
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Wir kontrollieren wie immer unsere Lösung:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 16:04, 12. Mär. 2009

Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{4x}{4x-7}-\frac{1}{2x-3}-1=0\,\textrm{.}

Danach erweitern wir alle Terme sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen

\displaystyle \frac{4x}{4x-7}\cdot\frac{2x-3}{2x-3} - \frac{1}{2x-3}\cdot\frac{4x-7}{4x-7} - \frac{(2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)} = 0

und schreiben die linke Seite der Gleichung wie

\displaystyle \frac{4x(2x-3) - (4x-7) - (2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}

Wir erweitern den Zähler

\displaystyle \frac{8x^{2}-12x-(4x-7)-(8x^{2}-14x-12x+21)}{(2x-3)(4x-7)} = 0

und vereinfachen ein wenig

\displaystyle \frac{10x-14}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}

Hier muss der Zähler null sein damit die Gleichung erfüllt sein soll

\displaystyle 10x-14=0\,,

Dies ergibt \displaystyle x=7/5\,.

Wir kontrollieren wie immer unsere Lösung:

\displaystyle \begin{align}

\text{LHS } &= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7} - \frac{1}{2\cdot\frac{7}{5}-3} = \{\,\text{multiply top and bottom by 5}\,\}\\[5pt] &= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7}\cdot\frac{5}{5} - \frac{1}{2\cdot \frac{7}{5}-3}\cdot\frac{5}{5} = \frac{4\cdot 7}{4\cdot 7-7\cdot 5}-\frac{5}{2\cdot 7-3\cdot 5}\\[5pt] &= \frac{4}{4-5}-\frac{5}{14-15} = -4-(-5) = 1 = \text{RHS.} \end{align}

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