Lösung 2.2:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{LHS}
+
\text{Linke Seite}
&= \frac{5\cdot 1}{6}-\frac{1+2}{9} = \frac{5}{6}-\frac{3}{9} = \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\\[5pt]
&= \frac{5\cdot 1}{6}-\frac{1+2}{9} = \frac{5}{6}-\frac{3}{9} = \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\\[5pt]
&= \frac{5}{6}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
&= \frac{5}{6}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
-
= \text{RHS}\,\textrm{.}
+
= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Version vom 13:52, 12. Mär. 2009

Wir teilen die Nenner in der Gleichung in ihre Primfaktoren auf, \displaystyle 6=2\cdot 3, \displaystyle 9=3\cdot 3 und 2. Wir sehen dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle 2\cdot 3\cdot 3=18 ist. Wir multiplizieren daher beide Seiten mit \displaystyle 2\cdot 3\cdot 3 um die Nenner zu eliminieren.

\displaystyle \begin{align}

& \rlap{/}2\cdot{}\rlap{/}3\cdot 3\cdot\frac{5x}{\rlap{/}6} - 2\cdot{}\rlap{/}3\cdot{}\rlap{/}3\cdot\frac{x+2}{\rlap{/}9} = \rlap{/}2\cdot 3\cdot 3\cdot \frac{1}{\rlap{/}2} \\[5pt] &\qquad\Leftrightarrow\quad 3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 3\cdot 3\,\textrm{.}\\ \end{align}

Die linke Seite der Gleichung kann wie \displaystyle 3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 15x-2x-4 = 13x-4 geshrieben werden, und wir bekommen

\displaystyle 13x-4=9\,\textrm{.}

Jetzt besteht nur mehr eine Lineare Gleichung, die wir wir vorher lösen

  1. Add 4 to both sides, \displaystyle \vphantom{x_2}13x-4+4=9+4\,, which gives \displaystyle \ 13x=13\,\textrm{.}
  2. Divide both sides by 13, \displaystyle \frac{13x}{13}=\frac{13}{13}\,, which gives the answer \displaystyle \ x=1\,\textrm{.}

Die Gleichung hat die Lösung \displaystyle x=1.

Wir kontrollieren die Lösung, indem wir x mit 1 in der ursprünglichen Gleichung substituieren

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \frac{5\cdot 1}{6}-\frac{1+2}{9} = \frac{5}{6}-\frac{3}{9} = \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{5}{6}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

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