1.3 Potenzen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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* Negative ganze Exponenten | * Negative ganze Exponenten | ||
* Rationale Exponenten | * Rationale Exponenten | ||
| - | * Die Rechenregeln für | + | * Die Rechenregeln für Exponenten |
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* Die Rechenregeln für Exponenten beherrschen. | * Die Rechenregeln für Exponenten beherrschen. | ||
* Wissen wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen). | * Wissen wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen). | ||
| - | * Potenzen nach Größe vergleichen | + | * Potenzen nach Größe vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis). |
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{{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Analog definiert man | + | Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl: |
{{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Der 4:er | + | Der 4:er wird als Basis bezeichnet, und der 5:er wird als Exponent bezeichnet. |
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| - | Das letzte Beispiel kann | + | Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden: |
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{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}} | ||
| - | Was | + | Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann |
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Was | + | Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
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| - | Dies kann | + | Dies kann durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden |
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| - | Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man dass für alle <math>a \ne 0</math> | + | Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle <math>a \ne 0</math> |
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</div> | </div> | ||
| - | Es kann auch | + | Es kann auch vorkommen dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} | ||
| - | Die | + | Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle <math>a \ne 0</math> |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}} | ||
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</div> | </div> | ||
| - | + | Wenn die Basis einer Potenz <math>-1</math> ist, ist der Ausdruck entweder <math>-1</math> oder <math>+1</math> je nach Exponent. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}} | ||
| - | Die | + | Die allgemeine Rechenregel ist dass <math>(-1)^n </math> <math>-1</math> ist wenn <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math> wenn <math>n</math> gerade ist. |
| Zeile 214: | Zeile 214: | ||
== Basis wechseln == | == Basis wechseln == | ||
| - | + | Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen sich lernen zu erkennen. Zum Beispiel: | |
{{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}} | ||
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== Rationale Exponenten == | == Rationale Exponenten == | ||
| - | Was | + | Was geschieht wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher präsentierten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein? |
Nachdem zum Beispiel | Nachdem zum Beispiel | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}} | ||
| - | + | muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math>\sqrt{2}</math> sein, nachdem <math>\sqrt2</math> definiert wird als die Zahl die <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> erfüllt. | |
Generell definiert man | Generell definiert man | ||
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</div> | </div> | ||
| - | Wir müssen annehmen dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine | + | Wir müssen annehmen dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. |
Wie haben aber zum Beispiel auch | Wie haben aber zum Beispiel auch | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}} | ||
| - | Was bedeuten muss dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was | + | Was bedeuten muss dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden kann |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
| Zeile 313: | Zeile 313: | ||
== Potenzen vergleichen == | == Potenzen vergleichen == | ||
| - | + | Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen. | |
| - | + | Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner je größer der Exponent wird. | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Zeile 327: | Zeile 327: | ||
</div> | </div> | ||
| - | + | Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer je größer die Basis wird. Das umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz. | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Zeile 333: | Zeile 333: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> nachdem die Basis <math>5</math> größer als die Basis <math>4</math> ist, und | + | <li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> nachdem die Basis <math>5</math> größer als die Basis <math>4</math> ist, und beide Potenzen denselben positiven Exponenten <math>3/2</math> haben.</li> |
<li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> nachdem es für die Basen gilt dass <math>2<3</math>, und die Potenzen den negativen Exponenten <math>-5/3</math> haben.</li> | <li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> nachdem es für die Basen gilt dass <math>2<3</math>, und die Potenzen den negativen Exponenten <math>-5/3</math> haben.</li> | ||
</ol> | </ol> | ||
| Zeile 358: | Zeile 358: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}} | ||
| - | + | Daher ist | |
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}} | ||
| Zeile 379: | Zeile 379: | ||
\end{align*}</math>}} | \end{align*}</math>}} | ||
| - | + | Daher ist | |
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}} | ||
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\end{align*}</math>}} | \end{align*}</math>}} | ||
| - | + | Daher ist | |
{{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}} | ||
| Zeile 431: | Zeile 431: | ||
<div class="inforuta" style="width:580px;"> | <div class="inforuta" style="width:580px;"> | ||
| - | '''Tipps fürs | + | '''Tipps fürs Lernen''' |
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | ||
| - | Nachdem Du | + | Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". |
'''Bedenke folgendes:''' | '''Bedenke folgendes:''' | ||
| - | Eine Potenz | + | Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist. |
'''Literaturhinweise''' | '''Literaturhinweise''' | ||
Version vom 22:09, 5. Nov. 2008
| Theorie | Übungen |
Content:
- Positive ganze Exponenten
- Negative ganze Exponenten
- Rationale Exponenten
- Die Rechenregeln für Exponenten
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
- Die Begriffe Basis und Exponent verstehen.
- Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen.
- Die Rechenregeln für Exponenten beherrschen.
- Wissen wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen).
- Potenzen nach Größe vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis).
Ganze Exponenten
Die Multiplikation ist eine Kürzung von wiederholten Additionen, zum Beispiel,
| \displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.} |
Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:
| \displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.} |
Der 4:er wird als Basis bezeichnet, und der 5:er wird als Exponent bezeichnet.
Beispiel 1
- \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
- \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
- \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
- \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, but \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
- \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, but \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36
Beispiel 2
- \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
- \displaystyle (2\cdot 3)^4
= (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
\displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296
Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden:
| \displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.} |
Rechenregeln für Potenzen
Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man dass
| \displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8 |
Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann
| \displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.} |
Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis, gilt folgendes
| \displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.} |
Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann
| \displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.} |
Wenn die Basis selber ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist
| \displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{} |
Und
| \displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.} |
Dies kann durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden
| \displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} |
Beispiel 3
- \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
- \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
- \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
- \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8
Beispiel 4
- \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
- \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9
Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:
| \displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.} |
Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle \displaystyle a \ne 0
| \displaystyle a^0 = 1\mbox{.} |
Es kann auch vorkommen dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel:
| \displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} |
Dies muss bedeuten dass
| \displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} |
Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle \displaystyle a \ne 0
| \displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.} |
Beispiel 5
- \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
- \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
- \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
- \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
- \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
- \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
- \displaystyle 0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
Wenn die Basis einer Potenz \displaystyle -1 ist, ist der Ausdruck entweder \displaystyle -1 oder \displaystyle +1 je nach Exponent.
| \displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}} |
Die allgemeine Rechenregel ist dass \displaystyle (-1)^n \displaystyle -1 ist wenn \displaystyle n ungerade ist, und \displaystyle +1 wenn \displaystyle n gerade ist.
Beispiel 6
- \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad nachdem \displaystyle 56 gerade ist
- \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad nachdem 11 ungerade ist
- \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} \displaystyle \phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}
Basis wechseln
Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen sich lernen zu erkennen. Zum Beispiel:
| \displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots |
| \displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots |
| \displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots |
Und auch
| \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots |
| \displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots |
| \displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots |
Usw.
Beispiel 7
- Schreibe \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ Als eine Potenz mit der Basis 2.
- \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
- \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
- Schreibe \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ Als eine Potenz mit der Basis 3.
- \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
- \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
- Vereinfache \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} so weit wie möglich.
- \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
- \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8
Rationale Exponenten
Was geschieht wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher präsentierten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?
Nachdem zum Beispiel
| \displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2 |
muss \displaystyle 2^{1/2} dasselbe wie \displaystyle \sqrt{2} sein, nachdem \displaystyle \sqrt2 definiert wird als die Zahl die \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 erfüllt.
Generell definiert man
| \displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.} |
Wir müssen annehmen dass \displaystyle a\ge 0, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
Wie haben aber zum Beispiel auch
| \displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5 |
Was bedeuten muss dass \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, was durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden kann
| \displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.} |
In dem man diese Regel, mit der Regel \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) kombiniert, sieht man dass für alle \displaystyle a\ge0 folgendes gilt
| \displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m} |
oder
| \displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} |
Beispiel 8
- \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad as \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
- \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
- \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
- \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
Potenzen vergleichen
Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.
Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner je größer der Exponent wird.
Beispiel 9
- \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad nachdem die Basis \displaystyle 3 größer als \displaystyle 1 und der erste Exponent \displaystyle 5/6 größer als der zweite Exponent \displaystyle 3/4 ist.
- \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad nachdem die Basis größer als \displaystyle 1 ist, und es für die Exponente gilt dass \displaystyle -3/4 > - 5/6.
- \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad nachdem die Basis \displaystyle 0{,}3 zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 1 ist, und \displaystyle 5 > 4.
Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer je größer die Basis wird. Das umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz.
Beispiel 10
- \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad nachdem die Basis \displaystyle 5 größer als die Basis \displaystyle 4 ist, und beide Potenzen denselben positiven Exponenten \displaystyle 3/2 haben.
- \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad nachdem es für die Basen gilt dass \displaystyle 2<3, und die Potenzen den negativen Exponenten \displaystyle -5/3 haben.
In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zu Beispiel \displaystyle 125^2 mit \displaystyle 36^3 zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben:
| \displaystyle
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 |
nachdem man sieht dass \displaystyle 36^3 > 125^2.
Beispiel 11
Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größte ist.
- \displaystyle 25^{1/3} und \displaystyle 5^{3/4} .
Die Basis 25 kann in der Basis 5 geschrieben werden, durch die Umschreibung \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Deshalb ist\displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3} Daher ist
nachdem \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} und die Basis \displaystyle 5 größer als \displaystyle 1 ist.\displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3} - \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 und \displaystyle 128.
\displaystyle 8 und \displaystyle 128 können beide mit der Basis \displaystyle 2 geschrieben werden\displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}} Dies bedeutet dass
\displaystyle \begin{align*} (\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\ 128 &= 2^7 = 2^{14/2} \end{align*}Daher ist
nachdem \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} und die Basis \displaystyle 2 größer als \displaystyle 1 ist.\displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128 - \displaystyle (8^2)^{1/5} und \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.
Nachdem \displaystyle 8=2^3 und \displaystyle 27=3^3, können die Basen als Exponenten von \displaystyle 2, respektive \displaystyle 3 geschrieben werden.\displaystyle \begin{align*} (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}\\ (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.}\end{align*}
Jetzt sieht man dass
\displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} nachdem \displaystyle 3>2 und der Exponent \displaystyle \frac{6}{5} positiv ist.
- \displaystyle 3^{1/3} und \displaystyle 2^{1/2}
Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad und \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}. Dies ergibt
\displaystyle \begin{align*} 3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\ 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}\end{align*}
Daher ist
nachdem \displaystyle 9>8 und der Exponent \displaystyle 1/6 positiv ist.\displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
Bedenke folgendes:
Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist.
Literaturhinweise
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
Learn more about powers in the English Wikipedi
What is the greatest prime number? Read more at The Prime Page
Nützliche Websites
