Lösung 1.2:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We begin by calculating the numerator in the main fraction,
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Wir berechnen zuerst den Nenner des Hauptbruches,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{\,\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{1\cdot 15}{7\cdot 15}-\dfrac{1\cdot 7}{15\cdot 7}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{15-7}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{8}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,}\,</math>.}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{\,\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{1\cdot 15}{7\cdot 15}-\dfrac{1\cdot 7}{15\cdot 7}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{15-7}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{8}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,}\,</math>.}}
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Note that we keep <math>7\cdot 15</math> as it is, and do not multiply it to give 105, because this will make the task of cancellation later simpler. We calculate the fraction on the right-hand side by multiplying top and bottom by <math>7\cdot 15/8</math>,
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und erweitern den Hauptbruch mit dem Kehrwert des unteren Bruches
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{\,\dfrac{8}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{\,2\cdot \dfrac{7\cdot 15}{8}\vphantom{\Biggl(}\,}{\,\dfrac{\rlap{/}8}{\rlap{/}7\cdot{}\rlap{\,/}15}\cdot \dfrac{\rlap{/}7\cdot{}\rlap{\,/}15}{\rlap{/}8}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2\cdot 7\cdot 15}{8}\,</math>.}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{\,\dfrac{8}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{\,2\cdot \dfrac{7\cdot 15}{8}\vphantom{\Biggl(}\,}{\,\dfrac{\rlap{/}8}{\rlap{/}7\cdot{}\rlap{\,/}15}\cdot \dfrac{\rlap{/}7\cdot{}\rlap{\,/}15}{\rlap{/}8}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2\cdot 7\cdot 15}{8}\,</math>.}}
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If we now divide up 8 and 15 into their smallest possible integer factors <math>8=2\cdot 2\cdot 2</math> and <math>15=3\cdot 5</math>, we see that the answer in simplified form will be
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Wenn wir jetzt 8 und 15 in ihre Primfaktoren zerlegen, können wir den Bruch kürzen, und bekommen
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2\cdot 7\cdot 15}{8}=\frac{\rlap{/}2\cdot 7\cdot 3\cdot 5}{\rlap{/}2\cdot 2\cdot 2}=\frac{7\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2}=\frac{105}{4}\,</math>.}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2\cdot 7\cdot 15}{8}=\frac{\rlap{/}2\cdot 7\cdot 3\cdot 5}{\rlap{/}2\cdot 2\cdot 2}=\frac{7\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2}=\frac{105}{4}\,</math>.}}

Version vom 12:53, 26. Okt. 2008

Wir berechnen zuerst den Nenner des Hauptbruches,

\displaystyle \frac{2}{\,\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{1\cdot 15}{7\cdot 15}-\dfrac{1\cdot 7}{15\cdot 7}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{15-7}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2}{\,\dfrac{8}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,}\,.

und erweitern den Hauptbruch mit dem Kehrwert des unteren Bruches

\displaystyle \frac{2}{\,\dfrac{8}{7\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{\,2\cdot \dfrac{7\cdot 15}{8}\vphantom{\Biggl(}\,}{\,\dfrac{\rlap{/}8}{\rlap{/}7\cdot{}\rlap{\,/}15}\cdot \dfrac{\rlap{/}7\cdot{}\rlap{\,/}15}{\rlap{/}8}\vphantom{\Biggl(}\,} = \frac{2\cdot 7\cdot 15}{8}\,.

Wenn wir jetzt 8 und 15 in ihre Primfaktoren zerlegen, können wir den Bruch kürzen, und bekommen

\displaystyle \frac{2\cdot 7\cdot 15}{8}=\frac{\rlap{/}2\cdot 7\cdot 3\cdot 5}{\rlap{/}2\cdot 2\cdot 2}=\frac{7\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2}=\frac{105}{4}\,.
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