3.2 Wurzelgleichungen

Exempel 1

Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation

Vorlage:Fristående formel

Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi

Vorlage:Fristående formel

Denna nya ekvation har två lösningar \displaystyle x = 2 eller \displaystyle x = -2. Lösningen \displaystyle x = 2 uppfyller den ursprungliga ekvationen medan \displaystyle x = -2 är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen \displaystyle \ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x.

Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2, men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen som den är får vi Vorlage:Fristående formel och utvecklar vi kvadraten fås Vorlage:Fristående formel Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas Vorlage:Fristående formel

Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir \displaystyle x = 3 \pm 2, dvs. \displaystyle x = 1 eller \displaystyle x = 5.

Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om \displaystyle x=1 och \displaystyle x=5 också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen:

• \displaystyle x = 1 medför att \displaystyle \mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 och \displaystyle \mbox{HL} = 1 - 1 = 0. Alltså är \displaystyle \mbox{VL} = \mbox{HL} och ekvationen är uppfylld!
• \displaystyle x = 5 medför att \displaystyle \mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 och \displaystyle \mbox{HL} = 1 - 5 = -4. Alltså är \displaystyle \mbox{VL} \ne \mbox{HL} och ekvationen är inte uppfylld!

Ekvationen har därmed bara en lösning \displaystyle x = 1.