Lösung 1.1:7b

Ett rationellt tal har alltid en decimalutveckling som från och med en viss decimal upprepar sig periodiskt.

I vårt fall så upprepas sekvensen 1416 i all oändlighet

Med andra ord är talet rationellt.

Nästa problem är att skriva om talet som ett bråktal och då utnyttjar vi att multiplikation med 10 flyttar decimalkommat ett steg åt höger.

Om vi skriver

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\color{red}{‚}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

så är därför

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\color{red}{‚}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\color{red}{‚}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\color{red}{‚}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\color{red}{‚}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots

Notera att i 10000x har vi flyttat decimalkommat tillräckligt många steg så att decimalutvecklingen av 10000x har kommit i fas med decimalutvecklingen av x, dvs. de har samma decimalutveckling.

Därför är

\displaystyle 10000x-x = 31416\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

\displaystyle \phantom{10000x-x}{}= 31413\quad(decimalerna tar ut varandra)

och eftersom \displaystyle 10000x-x = 9999x så har vi alltså sambandet

\displaystyle 9999x = 31413\,\mbox{.}

Löser vi ut x ur detta samband får vi x som en kvot mellan två heltal

\displaystyle x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}