4.2 Trigonometrische Funktionen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Regerate images and tabs)
Zeile 2: Zeile 2:
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Vald flik|[[4.2 Trigonometriska funktioner|Teori]]}}
+
{{Vald flik|[[4.2 Trigonometriska funktioner|Theory]]}}
-
{{Ej vald flik|[[4.2 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Ej vald flik|[[4.2 Övningar|Exercises]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Contents:'''
-
*De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens.
+
*The trigonometric functions cosine, sine and tangent.
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Learning outcomes:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
After this section, you will have learned :
-
*Känna till begreppen spetsig, trubbig och rät vinkel.
+
*The concepts of acute, obtuse and right angles.
-
*Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln.
+
*The definition of cosine, sine and tangent in the unit circle.
-
*Utantill kunna värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna <math>0</math>, <math>\pi/6</math> , <math>\pi/4</math> , <math>\pi/3</math> och <math>\pi/2</math>.
+
*,The values of cosine, sine and tangent for the standard angles 0, 6, 4, 3 and 2. <math>0</math>, <math>\pi/6</math> , <math>\pi/4</math> , <math>\pi/3</math> and <math>\pi/2</math>. by heart.
-
*Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna i någon kvadrant av enhetscirkeln.
+
*To determining the values of cosine, sine and tangent of arguments that can be reduced to a standard angle in a quadrant of the unit circle.
-
*Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens.
+
* To sketch graphs of cosine, sine and tangent.
-
*Lösa trigonometriska problem som involverar rätvinkliga trianglar.
+
*To solve trigonometric problems involving right-angled triangles.
}}
}}
-
== Trigonometri i rätvinkliga trianglar ==
+
== Trigonometry of right-angled triangles ==
-
I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten <math>a</math> och den närliggande kateten <math>b</math> för tangens av vinkeln <math>u</math> och betecknas <math>\tan u</math>.
+
In the right-angled triangle below the ratio between the opposite side <math>a</math> and the adjacent side <math>b</math> is called the tangent of the angle <math>u</math> and is writen as <math>\tan u</math>.
<center>
<center>
Zeile 39: Zeile 39:
</center>
</center>
-
Värdet på kvoten <math>\frac{a}{b}</math> är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln <math>u</math>. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarande tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).
+
The value of the ratio <math>\frac{a}{b}</math> is not dependent on the size of the triangle, but only on the angle <math>u</math>. For different values of the angle, you can get the equivalent value of the tangent either from a trigonometric table or by using a calculator (the relevent button is usually named tan).
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Example 1'''
-
Hur hög är flaggstången?
+
How high is the flagpole?
<center>{{:4.2 - Figur - Flaggstång}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Flaggstång}}</center>
-
Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med <math>x</math> nedan).
+
The flagpole and its shadow form a rectangular triangle where the vertical side is unknown (marked with <math>x</math> below).
<center>{{:4.2 - Figur - Flaggstångstriangel}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Flaggstångstriangel}}</center>
-
Från definitionen av tangens har vi att
+
From the definition of tangent, we have that
{{Fristående formel||<math>\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}</math>}}
-
och eftersom <math>\tan 40^\circ \approx 0{,}84</math> så är
+
and since <math>\tan 40^\circ \approx 0{,}84</math> we get
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84
Zeile 63: Zeile 63:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Example 2'''
-
Bestäm längden av sidan markerad med <math>x</math> i figuren.
+
Determine the length of the side designated with the <math>x</math> in the figure.
<center>{{:4.2 - Figur - Dubbeltriangel}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Dubbeltriangel}}</center>
-
Om vi kallar vinkeln längst till vänster för <math>u</math> så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för <math>\tan u</math>.
+
If we call the angle at the far left <math>u</math> there are two ways to construct an expression for <math>\tan u</math>.
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 91: Zeile 91:
|}
|}
-
Sätter vi de två uttrycken för <math>\tan u</math> lika fås
+
Equality of the two expressions for <math>\tan u</math>
 +
 
 +
gives
{{Fristående formel||<math>\frac{22}{40} = \frac{x}{60}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\frac{22}{40} = \frac{x}{60}</math>}}
-
vilket ger att <math>x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33</math>.
+
which leads to <math>x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33</math>.
</div>
</div>
-
Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är <math>\cos u = b/c</math> ("cosinus av <math>u</math>") och <math>\sin u = a/c</math> ("sinus av <math>u</math>").
+
There are two other ratios in right-angled triangles that have special names, and one is <math>\cos u = b/c</math> ("cosine of <math>u</math>") and the other <math>\sin u = a/c</math> (" sine of <math>u</math>").
<center>
<center>
Zeile 112: Zeile 114:
|}
|}
</center>
</center>
-
 
+
Like the tangent the ratios that define the cosine and sine do not depend on the size of the triangle, but only on the angle <math>u</math>.
-
Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln <math>u</math>.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Example 3'''
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 129: Zeile 130:
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
I triangeln till vänster är
+
In the triangle on the left
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt]
\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt]
Zeile 146: Zeile 147:
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
Definitionen av sinus ger att
+
The definition of sine gives that
{{Fristående formel||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
-
och vet vi att <math>\sin 38^\circ \approx 0{,}616</math> så får vi att
+
and if we know that <math>\sin 38^\circ \approx 0{,}616</math> then we get
{{Fristående formel||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}</math>}}
|-
|-
Zeile 162: Zeile 163:
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan
+
Cosine is the ratio between the adjacent side and the hypotenuse
{{Fristående formel||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
-
Alltså är
+
Thus
{{Fristående formel||<math>x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}</math>}}
|}
|}
Zeile 170: Zeile 171:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Example 4'''
-
Bestäm <math>\sin u</math> i triangeln
+
Determine <math>\sin u</math> in the triangle
<center>{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½ och 1}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½ och 1}}</center>
-
Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas
+
With the help of Pythagoras theorem can the side on the right be determined
<center>
<center>
Zeile 189: Zeile 190:
</center>
</center>
-
och därför är <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
+
and thus <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
</div>
</div>
-
== Några standardvinklar ==
+
== Some standard angles ==
-
För vissa vinklar 30°, 45° och 60° går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.
+
For some angles namely 30°, 45° and 60° it is relatively easy to calculate the exact values of the trigonometric functions.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Example 5'''
-
Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.
+
We start with a square having sides of length 1. A diagonal of the square divides the right angles in opposite corners in two equal parts of 45°.
Zeile 206: Zeile 207:
-
Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd <math>x</math>,
+
Using Pythagoras theorem, we can determine the diagonals length <math>x</math>,
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
x^2 = 1^2 + 1^2
x^2 = 1^2 + 1^2
Zeile 212: Zeile 213:
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln <math>45^\circ</math>.
+
Each triangle has the diagonal as the hypotenuse, thus we can obtain the value of the trigonometric functions for the angle <math>45^\circ</math>.
Zeile 233: Zeile 234:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Example 6'''
-
Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.
+
Imagine an equilateral triangle where all sides have length 1. The angles of the triangle are all 60°. The triangle can be divided into two halves by a line that divides the angle at the top in equal parts.
Zeile 241: Zeile 242:
-
Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är <math>x=\sqrt{3}/2</math>. Från en triangelhalva får vi att
+
Pythagoras theorem shows that the vertical side of either half-triangle is <math>x=\sqrt{3}/2</math>. From one of these half-triangles we get that
Zeile 268: Zeile 269:
-
== Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar ==
+
== Trigonometric functions for general angles ==
-
För vinklar som är mindre än 0° eller större än 90° definieras de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie 1).
+
For angles of less than 0° or greater than 90° the trigonometric functions are defined using the unit circle (that is the circle that has its center at the origin and has a radius 1).
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 276: Zeile 277:
|-
|-
| width="90%" valign="center"|
| width="90%" valign="center"|
-
De trigonometriska funktionerna <math>\cos u</math> och <math>\sin u</math> är ''x''- respektive ''y''-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln <math>u</math> med den positiva ''x''-axeln.
+
The trigonometric functions <math>\cos u</math> and <math>\sin u</math> are ''x''- and ''y''- coordinates of the intersection between the unit circle and the radial line that forms the angle <math>u</math> with the positive ''x''-axis.
| width="10%" |
| width="10%" |
| align="right" valign="center" |
| align="right" valign="center" |
Zeile 283: Zeile 284:
</div>
</div>
-
Tangensfunktionen definieras som
+
Tangent function is defined as
{{Fristående formel||<math>\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}</math>}}
-
och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.
+
and the value of the tangent can be interpreted as the slope for the radial line.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Example 7'''
-
Från figurerna nedan avläser vi värdena på cosinus och sinus.
+
From the figures below, we obtain the values of cosine and sine.
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 328: Zeile 329:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Example 8'''
-
Vilket tecken har
+
Which sign do the following have?
{| width="100%"
{| width="100%"
|-
|-
Zeile 338: Zeile 339:
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Eftersom vinkeln <math>209^\circ</math> kan skrivas som <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ ''x''-koordinat, vilket betyder att <math>\cos 209^\circ</math> är negativ.</li>
+
Since the angle <math>209^\circ</math> can be written as <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> the angle corresponds to a point on the unit circle which lies in the third quadrant. The point has a negative ''x''-coordinate, which means that <math>\cos 209^\circ</math> is negative .</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
Zeile 349: Zeile 350:
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Vinkeln <math>133^\circ</math> är lika med <math>90^\circ + 43^\circ</math> och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv ''y''-koordinat och därför är <math>\sin 133^\circ</math> positiv.</li>
+
The angle <math>133^\circ</math> is equal to <math>90^\circ + 43^\circ</math> and gives a point on the unit circle which lies in the second quadrant. The quadrant has points with positive ''y''-coordinate, and therefore <math>\sin 133^\circ</math> is positive.</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
Zeile 360: Zeile 361:
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Ritas vinkeln <math>-40^\circ</math> in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. <math>\tan (-40^\circ)</math> är negativ.</li>
+
By drawing angle<math>-40^\circ</math> in the unit circle one obtains a radial line which has a negative slope, i.e. <math>\tan (-40^\circ)</math> is negative. </li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
Zeile 369: Zeile 370:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Example 9'''
-
Bestäm <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
+
Calculate <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Omskrivningen
+
Rewriting
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
Zeile 380: Zeile 381:
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
-
visar att vinkeln <math>2\pi/3</math> hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln <math>\pi/6</math> med den positiva ''y''-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att <math>2\pi/3</math>-punkten på enhetscirkeln har en ''y''-koordinat som är lika med den närliggande kateten <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math>. Alltså är
+
shows that the angle <math>2\pi/3</math> lands in the the second quadrant and makes the angle <math>\pi/6</math> with the positive ''y''-axis. O If we draw an extra triangle as in the figure below on the right, we see that <math>2\pi/3</math>- point on the unit circle has a ''y''-coordinate, which is equal to the adjacent side <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math>. So we have that
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 388: Zeile 389:
-
== De trigonometriska funktionernas grafer ==
+
== The trigonometric functions graphs ==
-
I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.
+
In the last section, we used a circle to define cosine and sine of arbitrary angles and we often will use the unit circle in the future, for example, to derive trigonometric relationships and solve trigonometric equations. However, there are certain characteristics of the trigonometric functions that are better illustrated by drawing their graphs.
<center>{{:4.2 - Figur - Sinuskurva}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Sinuskurva}}</center>
-
<center><small>Grafen till sinusfunktionen</small></center>
+
<center><small>The graph to the sine function </small></center>
<center>{{:4.2 - Figur - Cosinuskurva}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Cosinuskurva}}</center>
-
<center><small>Grafen till cosinusfunktionen</small></center>
+
<center><small>The graph to the cosine function </small></center>
<center>{{:4.2 - Figur - Tangenskurva}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Tangenskurva}}</center>
-
<center><small>Grafen till tangensfunktionen</small></center>
+
<center><small>The graph to the tangent function </small></center>
-
I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är:
+
In these graphs, we might observe several things more clearly than in the unit circle. Some examples are:
-
*Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på <math>2\pi</math>, dvs. det gäller att <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> och <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. I enhetscirkeln motsvarar <math>2\pi</math> ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.
+
* The curves for cosine and sine repeats theirselves after a change in angle of <math>2\pi</math>, that is. the <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> and <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. For the unit circle <math>2\pi</math> corresponds to a revolution, and after a complete revolution angles return to the same location on the unit circle and therefore have the same coordinates.
-
*Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på <math>\pi</math>, dvs. <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Två vinklar som skiljer sig åt med <math>\pi</math> ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.
+
*The curve for the tangent repeats itself after a change in angle of <math>\pi</math>, that is.. <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Two angles which differ by <math>\pi</math> share the same line through the origin of the unit circle and thus their radial lines have the same slope.
-
*Förutom en fasförskjutning på <math>\pi/2</math> är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>; mer om detta i nästa avsnitt.
+
*Except for a phase shift of <math>\pi/2</math> the curves for cosine and sine are identical, that is. <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>; more about this in the next section.
-
Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.
+
The curves can also be important when examining trigonometric equations. With a simple sketch, you can often get an idea of how many solutions an equation has, and where the solutions lie.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Example 10'''
-
Hur många lösningar har ekvationen <math>\cos x = x^2</math>? (där <math>x</math> mäts i radianer)
+
How many solutions has the equation <math>\cos x = x^2</math> ( where <math>x</math> is measured in radians)?
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Genom att rita upp graferna <math>y=\cos x</math> och <math>y=x^2</math> ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två ''x''-värden för vilka motsvarande ''y''-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.
+
By drawing the graphs <math>y=\cos x</math> and <math>y=x^2</math> we see that the curves intersect in two points. So there are two ''x''- values for which the corresponding ''y''-values are equal. In other words, the equation has two solutions.
<center>{{:4.2 - Figur - Kurvorna y = cos x och y = x²}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Kurvorna y = cos x och y = x²}}</center>
Zeile 426: Zeile 427:
-
[[4.2 Övningar|Övningar]]
+
[[4.2 Övningar|Exercises]]
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Råd för inläsning'''
+
'''Study advice'''
-
 
+
-
'''Grund- och slutprov'''
+
-
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
+
'''Basic and final tests'''
 +
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
-
'''Tänk på att:'''
 
-
Har du läst trigonometri, så ska du inte vara rädd för att använda den i geometriska problem. Det ger ofta en enklare lösning.
+
'''Keep in mind that: '''
-
Du kan behöva lägga ner mycket tid på att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna.
+
If you have studied trigonometry, then you should not be afraid to use it in geometric problems. It often produces a simpler solution.
-
Ta för vana att räkna med exakta trigonometriska värden. Det ger en bra träning på bråkräkning och så småningom i räkning med algebraiska rationella uttryck.
+
You may need to spend a lot of time on understanding how to use a unit circle to define the trigonometric functions.
 +
Get into the habit of calculating with precise trigonometric values. It provides a good training in calculating fractions and eventually algebraic rational expression.
-
'''Lästips'''
+
'''Reviews'''
-
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
+
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
-
[http://dooku.miun.se/per.edstrom/interaktiv_matematik/trigonometri/cos_even.html Läs mer om trigonometri i Per Edströms "Interaktiv Matematik"]
+
[http://dooku.miun.se/per.edstrom/interaktiv_matematik/trigonometri/cos_even.html Learn more about trigonometry in Per Edström "Interactive Mathematics"]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia]
+
[http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function Learn more about trigonometry in the English Wikipedia]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle Läs mer om enhetscirkeln på engelska Wikipedia]
+
[http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle Learn more about the unit circle in the English Wikipedia]
'''Länktips'''
'''Länktips'''
-
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Experimentera med sinus och cosinus i enhetscirkeln]
+
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Experiment with the sine and cosine in the unit circle]
-
[http://www.math.psu.edu/dlittle/java/geometry/euclidean/toolbox.html Experimentera med Euklidisk geometri]
+
[http://www.math.psu.edu/dlittle/java/geometry/euclidean/toolbox.html Experiment with Euclidean geometry]
</div>
</div>

Version vom 19:14, 15. Jul. 2008

 

Vorlage:Vald flik Vorlage:Ej vald flik

 

Contents:

  • The trigonometric functions cosine, sine and tangent.

Learning outcomes:

After this section, you will have learned :

  • The concepts of acute, obtuse and right angles.
  • The definition of cosine, sine and tangent in the unit circle.
  • ,The values of cosine, sine and tangent for the standard angles 0, 6, 4, 3 and 2. \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 and \displaystyle \pi/2. by heart.
  • To determining the values of cosine, sine and tangent of arguments that can be reduced to a standard angle in a quadrant of the unit circle.
  • To sketch graphs of cosine, sine and tangent.
  • To solve trigonometric problems involving right-angled triangles.

Trigonometry of right-angled triangles

In the right-angled triangle below the ratio between the opposite side \displaystyle a and the adjacent side \displaystyle b is called the tangent of the angle \displaystyle u and is writen as \displaystyle \tan u.

4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och kateterna a och b

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

The value of the ratio \displaystyle \frac{a}{b} is not dependent on the size of the triangle, but only on the angle \displaystyle u. For different values of the angle, you can get the equivalent value of the tangent either from a trigonometric table or by using a calculator (the relevent button is usually named tan).

Example 1

How high is the flagpole?

4.2 - Figur - Flaggstång

The flagpole and its shadow form a rectangular triangle where the vertical side is unknown (marked with \displaystyle x below).

4.2 - Figur - Flaggstångstriangel

From the definition of tangent, we have that Vorlage:Fristående formel

and since \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0{,}84 we get Vorlage:Fristående formel

Example 2

Determine the length of the side designated with the \displaystyle x in the figure.

4.2 - Figur - Dubbeltriangel

If we call the angle at the far left \displaystyle u there are two ways to construct an expression for \displaystyle \tan u.

4.2 - Figur - Dubbeltriangel med den lilla triangeln framhävd

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

4.2 - Figur - Dubbeltriangel med den stora triangeln framhävd

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Equality of the two expressions for \displaystyle \tan u 

gives

Vorlage:Fristående formel

which leads to \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

There are two other ratios in right-angled triangles that have special names, and one is \displaystyle \cos u = b/c ("cosine of \displaystyle u") and the other \displaystyle \sin u = a/c (" sine of \displaystyle u").

4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidorna a, b och c

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Like the tangent the ratios that define the cosine and sine do not depend on the size of the triangle, but only on the angle \displaystyle u.

Example 3

4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidor 3, 4 och 5

In the triangle on the left Vorlage:Fristående formel

4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 38° och sidor x och 5

The definition of sine gives that Vorlage:Fristående formel and if we know that \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0{,}616 then we get Vorlage:Fristående formel

4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 34° och sidor 3 och x

Cosine is the ratio between the adjacent side and the hypotenuse Vorlage:Fristående formel Thus Vorlage:Fristående formel

Example 4

Determine \displaystyle \sin u in the triangle

4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½ och 1

With the help of Pythagoras theorem can the side on the right be determined

4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½, x och 1

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}

and thus \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.


Some standard angles

For some angles namely 30°, 45° and 60° it is relatively easy to calculate the exact values of the trigonometric functions.

Example 5

We start with a square having sides of length 1. A diagonal of the square divides the right angles in opposite corners in two equal parts of 45°.


4.2 - Figur - Två enhetskvadrater


Using Pythagoras theorem, we can determine the diagonals length \displaystyle x, Vorlage:Fristående formel

Each triangle has the diagonal as the hypotenuse, thus we can obtain the value of the trigonometric functions for the angle \displaystyle 45^\circ.


4.2 - Figur - Enhetskvadrat vars halva är en rätvinklig triangel

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Example 6

Imagine an equilateral triangle where all sides have length 1. The angles of the triangle are all 60°. The triangle can be divided into two halves by a line that divides the angle at the top in equal parts.


4.2 - Figur - Två liksidiga trianglar


Pythagoras theorem shows that the vertical side of either half-triangle is \displaystyle x=\sqrt{3}/2. From one of these half-triangles we get that


4.2 - Figur - En halv liksidig triangel

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}


Trigonometric functions for general angles

For angles of less than 0° or greater than 90° the trigonometric functions are defined using the unit circle (that is the circle that has its center at the origin and has a radius 1).

The trigonometric functions \displaystyle \cos u and \displaystyle \sin u are x- and y- coordinates of the intersection between the unit circle and the radial line that forms the angle \displaystyle u with the positive x-axis.

4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln u och punkten (cos u, sin u)

Tangent function is defined as

Vorlage:Fristående formel

and the value of the tangent can be interpreted as the slope for the radial line.


Example 7

From the figures below, we obtain the values of cosine and sine.

4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 104° och punkten (-0,24; 0,97)

\displaystyle \begin{align*} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align*}

4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 201° och punkten (-0,93; -0,36)

\displaystyle \begin{align*} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align*}

Example 8

Which sign do the following have?

  1. \displaystyle \cos 209^\circ

    Since the angle \displaystyle 209^\circ can be written as \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ the angle corresponds to a point on the unit circle which lies in the third quadrant. The point has a negative x-coordinate, which means that \displaystyle \cos 209^\circ is negative .

4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 209° och linjen x = cos 209°

  1. \displaystyle \sin 133^\circ

    The angle \displaystyle 133^\circ is equal to \displaystyle 90^\circ + 43^\circ and gives a point on the unit circle which lies in the second quadrant. The quadrant has points with positive y-coordinate, and therefore \displaystyle \sin 133^\circ is positive.

4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 133° och linjen y = sin 133°

  1. \displaystyle \tan (-40^\circ)

    By drawing angle\displaystyle -40^\circ in the unit circle one obtains a radial line which has a negative slope, i.e. \displaystyle \tan (-40^\circ) is negative.

4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln -40° och linjen med riktningskoefficient tan -40°

Example 9

Calculate \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Rewriting Vorlage:Fristående formel

shows that the angle \displaystyle 2\pi/3 lands in the the second quadrant and makes the angle \displaystyle \pi/6 with the positive y-axis. O If we draw an extra triangle as in the figure below on the right, we see that \displaystyle 2\pi/3- point on the unit circle has a y-coordinate, which is equal to the adjacent side \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2. So we have that Vorlage:Fristående formel

4.2 - Figur - Två enhetscirklar med vinkeln 2π/3 (vinkeln π/6 mot y-axeln)


The trigonometric functions graphs

In the last section, we used a circle to define cosine and sine of arbitrary angles and we often will use the unit circle in the future, for example, to derive trigonometric relationships and solve trigonometric equations. However, there are certain characteristics of the trigonometric functions that are better illustrated by drawing their graphs.


4.2 - Figur - Sinuskurva
The graph to the sine function
4.2 - Figur - Cosinuskurva
The graph to the cosine function
4.2 - Figur - Tangenskurva
The graph to the tangent function


In these graphs, we might observe several things more clearly than in the unit circle. Some examples are:

  • The curves for cosine and sine repeats theirselves after a change in angle of \displaystyle 2\pi, that is. the \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x and \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. For the unit circle \displaystyle 2\pi corresponds to a revolution, and after a complete revolution angles return to the same location on the unit circle and therefore have the same coordinates.
  • The curve for the tangent repeats itself after a change in angle of \displaystyle \pi, that is.. \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Two angles which differ by \displaystyle \pi share the same line through the origin of the unit circle and thus their radial lines have the same slope.
  • Except for a phase shift of \displaystyle \pi/2 the curves for cosine and sine are identical, that is. \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2); more about this in the next section.


The curves can also be important when examining trigonometric equations. With a simple sketch, you can often get an idea of how many solutions an equation has, and where the solutions lie.

Example 10

How many solutions has the equation \displaystyle \cos x = x^2 ( where \displaystyle x is measured in radians)?

By drawing the graphs \displaystyle y=\cos x and \displaystyle y=x^2 we see that the curves intersect in two points. So there are two x- values for which the corresponding y-values are equal. In other words, the equation has two solutions.

4.2 - Figur - Kurvorna y = cos x och y = x²


Exercises

Study advice

Basic and final tests

After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.


Keep in mind that:

If you have studied trigonometry, then you should not be afraid to use it in geometric problems. It often produces a simpler solution.

You may need to spend a lot of time on understanding how to use a unit circle to define the trigonometric functions.

Get into the habit of calculating with precise trigonometric values. It provides a good training in calculating fractions and eventually algebraic rational expression.

Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about trigonometry in Per Edström "Interactive Mathematics"

Learn more about trigonometry in the English Wikipedia

Learn more about the unit circle in the English Wikipedia


Länktips

Experiment with the sine and cosine in the unit circle

Experiment with Euclidean geometry

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.2_Trigonometrische_Funktionen“