3.4 Logarithmusgleichungen

Exempel 1

Lös ekvationerna

1. \displaystyle 10^x = 537\quad har lösningen \displaystyle x = \lg 537.
2. \displaystyle 10^{5x} = 537\quad ger att \displaystyle 5x = \lg 537, dvs. \displaystyle x=\frac{1}{5} \lg 537.
3. \displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad Multiplikation av båda led med \displaystyle e^x och division med 5 ger att \displaystyle \tfrac{3}{5}=e^x , vilket betyder att \displaystyle x=\ln\tfrac{3}{5}.
4. \displaystyle \lg x = 3 \quad Definitionen ger direkt att \displaystyle x=10^3 = 1000.
5. \displaystyle \lg(2x-4) = 2 \quad Från definitionen har vi att \displaystyle 2x-4 = 10^2 = 100 och då följer att \displaystyle x = 52.

Exempel 2

1. Lös ekvationen \displaystyle \,(\sqrt{10}\,)^x = 25.
   
   Eftersom \displaystyle \sqrt{10} = 10^{1/2} är vänsterledet lika med \displaystyle (\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2} och ekvationen lyder Vorlage:Fristående formel Denna grundekvation har lösningen \displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, dvs. \displaystyle x = 2 \lg 25.
2. Lös ekvationen \displaystyle \,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
   
   Multiplicera båda led med 2 och subtrahera sedan 2 från båda led Vorlage:Fristående formel Dividera båda led med 3 Vorlage:Fristående formel Nu ger definitionen direkt att \displaystyle 2x = e^{-1/3}, vilket betyder att Vorlage:Fristående formel

Exempel 3

1. Lös ekvationen \displaystyle \,3^x = 20.
   
   Logaritmera båda led Vorlage:Fristående formel Vänsterledet kan skrivas som \displaystyle \lg 3^x = x \cdot \lg 3 och då får vi att Vorlage:Fristående formel
2. Lös ekvationen \displaystyle \ 5000 \cdot 1{,}05^x = 10\,000.
   
   Dividera båda led med 5000 Vorlage:Fristående formel Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med lg och skriva om vänsterledet som \displaystyle \lg 1{,}05^x = x\cdot\lg 1{,}05, Vorlage:Fristående formel

Exempel 4

1. Lös ekvationen \displaystyle \ 2^x \cdot 3^x = 5.
   
   Vänsterledet kan skrivas om med potenslagarna till \displaystyle 2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x och ekvationen blir Vorlage:Fristående formel Denna ekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får att Vorlage:Fristående formel
2. Lös ekvationen \displaystyle \ 5^{2x + 1} = 3^{5x}.
   
   Logaritmera båda led och använd logaritmlagen \displaystyle \lg a^b = b \cdot \lg a Vorlage:Fristående formel Samla \displaystyle x i ena ledet Vorlage:Fristående formel Lösningen är Vorlage:Fristående formel

Exempel 5

Lös ekvationen \displaystyle \,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}.

Multiplicera båda led med \displaystyle 3e^x+1 och \displaystyle e^{-x}+2 för att få bort nämnarna

Vorlage:Fristående formel

Notera att eftersom \displaystyle e^x och \displaystyle e^{-x} alltid är positiva oavsett värdet på \displaystyle x så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer \displaystyle 3e^x+1 och \displaystyle e^{-x} +2 som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera nya (falska) rötter till ekvationen.

Förenkla båda led Vorlage:Fristående formel där vi använt att \displaystyle e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1. Betraktar vi nu \displaystyle e^x som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen Vorlage:Fristående formel

En logaritmering ger sedan svaret Vorlage:Fristående formel

Exempel 6

Lös ekvationen \displaystyle \,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1.

Termen \displaystyle \ln\frac{1}{x} kan skrivas som \displaystyle \ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x och då blir ekvationen Vorlage:Fristående formel där vi kan betrakta \displaystyle \ln x som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med \displaystyle \ln x (som är skild från noll när \displaystyle x \neq 1) får vi en andragradsekvation i \displaystyle \ln x Vorlage:Fristående formel Vorlage:Fristående formel

Kvadratkomplettering av vänsterledet

Vorlage:Fristående formel

följt av rotutdragning ger att

Vorlage:Fristående formel

Detta betyder att ekvationen har två lösningar

Vorlage:Fristående formel

Exempel 7

Lös ekvationen \displaystyle \,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x).

För att ekvationen ska vara uppfylld måste argumenten \displaystyle 4x^2-2x och \displaystyle 1-2x vara lika,

Vorlage:Fristående formel

och dessutom positiva. Vi löser ekvationen \displaystyle (*) genom att flytta över alla termer i ena ledet

Vorlage:Fristående formel

och använder rotutdragning. Detta ger att

Vorlage:Fristående formel

Vi kontrollerar nu om båda led i \displaystyle (*) är positiva

• Om \displaystyle x= -\tfrac{1}{2} blir båda led lika med \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0.
• Om \displaystyle x= \tfrac{1}{2} blir båda led lika med \displaystyle 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0.

Alltså har logaritmekvationen bara en lösning \displaystyle x= -\frac{1}{2}.

Exempel 8

Lös ekvationen \displaystyle \,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}.

Den första termen kan vi skriva som \displaystyle e^{2x} = (e^x)^2. Hela ekvationen är alltså en andragradsekvation med \displaystyle e^x som obekant Vorlage:Fristående formel

Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver \displaystyle t istället för \displaystyle e^x,

Vorlage:Fristående formel

Kvadratkomplettera vänsterledet

Vorlage:Fristående formel

vilket ger lösningarna

Vorlage:Fristående formel

Eftersom \displaystyle \sqrt3 > 1 så är \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0 och det är bara \displaystyle t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3 som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom \displaystyle e^x alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att

Vorlage:Fristående formel

är den enda lösningen till ekvationen.