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Beispiel 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte \displaystyle \star \diamond \bigcirc
in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?

\displaystyle \star \ \ \diamond \ \ \bigcirc
\displaystyle \star \ \ \bigcirc \ \ \diamond
\displaystyle \diamond \ \ \bigcirc \ \ \star
\displaystyle \diamond \ \ \star \ \ \bigcirc
\displaystyle \bigcirc \ \ \star \ \ \diamond
\displaystyle \bigcirc \ \ \diamond \ \ \star

Es gibt \displaystyle 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&uume;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&uume;r den dritten Gegenstand.

Beispiel 2

1. Möglichkeiten der Anordnung von \displaystyle a, m, b, u ? \displaystyle 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
2. \displaystyle \dfrac{5!}{3!} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 4
3. \displaystyle \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} = \dfrac {(n+1) n (n-1) (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{(n-1)(n-2) \cdot …. \cdot 2 \cdot 1} = (n+1) n
4. \displaystyle 2n! = 2 \cdot n \cdot (n-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1 \displaystyle (2n)! = 2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

Beispiel 3

Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung)
1. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
2. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
3. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
4. Buchstabe: 6 Möglichkeiten

Also gibt es \displaystyle 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 Möglichkeiten.

Beispiel 4

Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.

1.Ziehen : 6 Möglichkeiten
2.Ziehen : 5 Möglichkeiten
3.Ziehen : 4 Möglichkeiten
4.Ziehen : 3 Möglichkeiten
insgesamt: \displaystyle 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 Möglichkeiten. \displaystyle 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{6!}{(6-4)!}

Beispiel 5

„Lotto“ mit Reihenfolge

Anzahl der Möglichkeiten: \displaystyle \dfrac{49!}{(49-6)!} = 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \approx 10 \cdot 10^9 (*)

Aber: Die Reihenfolge ist bei echtem Lotto unwichtig. Für sechs feste Zahlen sind 6! Kombinationen in (*) enthalten.

Beispiel 6

Bei "echtem Lotto" ohne Reihenfolge wird also die Anzahl der Moeglichkeiten mit Reihenfolge, durch die moeglichen Permutationen der Elemente geteilt.

\displaystyle \dfrac{49!}{(49-6)!} \cdot \dfrac{1}{6!} = \dfrac{49!}{(49-6)!6!} = \binom{49}{6} \approx 13 \cdot 10^6 Möglichkeiten.

Auswahlmöglichkeiten für k aus n Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:

\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}

Hierf&u ume;r ben&oome;tigt man den Binomialkoeffizient der hier noch einmal ausf&u ume;rlicher erkl&a ume;rt wird.

mit \displaystyle n \in N , k \in N , n \ge k

Beispiel 7

Wähle 3 Personen aus 10 aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Nach Urnenmodell: Ziehe 3 aus 10, ohne Zurück legen und ohne Reihenfolge.

Es gilt \displaystyle \binom{10}{3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 Möglichkeiten

Beispiel 8

Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Skat spielen 32 Karten auf 3 Spieler (10 Karten) zu und Skat (2 Karten) zu verteilen?

Kombinationen f&ume;r den 1.Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen f&ume;r den 2. Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen f&ume;r den 3. Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen f&ume;r den 4. Spieler \displaystyle = \binom{32}{10} \cdot \binom{22}{10} \cdot \binom{12}{10} \cdot \binom{2}{2} \displaystyle =\dfrac{32!}{22! \cdot 10!} \cdot \dfrac{22!}{12! \cdot 10!} \cdot \dfrac{12!}{2! \cdot 10!} \cdot \dfrac{2!}{2! \cdot 0!} \displaystyle =\dfrac{32!}{10! \cdot 10! \cdot 10! \cdot 2!}.

(Bemerkung: Es gibt auch noch andere Rechnungen, die auf das gleiche Ergebnis führen.)

Beispiel 1
"7 ist gerade" f
"7 ist eine Primzahl" w
"7 teilt 42" w
"7 < 3" f

Beispiel 2
Aussagen koennen mit A, B, C, ... bezeichnet werden.
z.B. A: "3 < 7"

Beispiel 3
A : "\displaystyle 5 \le 7 " w
B : "\displaystyle 7 \ge 3 " w
\displaystyle A \wedge B : "5 \le 7" und "\displaystyle 7 \ge 3 " w

Beispiel 4
A: "\displaystyle \pi > 0 " w
B: "7 teilt 42 " w
A \displaystyle \vee B w

Beispiel 5
z.B.
A: "\displaystyle 3 < 7 "
\displaystyle \neg A: "\displaystyle 3 \ge 7 "

Beispiel 6
A: "Ich bin schlecht in Mathe."
B: "Ich bin schlecht in Deutsch."
\displaystyle \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B
Hier bedeutet \displaystyle \neg (A \wedge B) ich bin nicht schlecht in Mathe und Deutsch, \displaystyle \neg A \vee \neg B dass man entweder weder in Mathe noch in Deutsch schlecht ist, nur in einem von beiden, allerdings nicht in beiden auf einmal.

Beispiel 7
A: "Ich bin besoffen."
B: "Ich bin muede."
\displaystyle \neg (A \vee B) =\parallel = \neg A \wedge \neg B
Hier bedeutet \displaystyle \neg (A \vee B) ich bin nicht besoffen oder muede, \displaystyle \neg A \wedge \neg B dass man nicht besoffen und nicht muede ist.

Beipiel 8
"Wenn x \displaystyle \in N durch 4 teilbar isr, dann auch durch 2."
"Wenn x \displaystyle \in N nicht durch 2 teilbar isr, dann auch nicht durch 4."

Beipiel 9
A(x) : "x gerade"
B(x,y): "x ist kleiner als y"
C(x,y): "x+y=1"
D(x): "x<9"

Beispiel 1

1. \displaystyle \exists x \in N: x \ge 5
   Beweis: Waehle \displaystyle x=5
2. \displaystyle \exists x \in R: x^2 =2
   Beweis: Waehle \displaystyle x=\sqrt{2}

Beispiel 2
\displaystyle \forall a,b \in R :(a,b \ge 0) \Rightarrow \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{a \cdot b}

Seien \displaystyle a, b \in R . Dann gilt
\displaystyle (a-b)^2 \ge 0 (man beginnt mit einer wahre Aussage (*))
\displaystyle a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 |+4ab
\displaystyle a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab
\displaystyle (a+b)^2 \ge 4ab |\sqrt{\ \ }
\displaystyle a+b \ge 2\sqrt{ab}
\displaystyle \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}

Auf (*) zu kommen ist nicht immer ganz leicht. Man kann durch probieren darauf kommen oder weiss es aus Erfahrung.

Beispiel 3
\displaystyle \forall x \in N: (x \ge 5) (*)
Verneinung:
\displaystyle \neg (\forall x \in N: (x \ge 5)) \ \ \ =\parallel = \ \ \ \exists x \in N: \neg(x\ge 5) \ \ \ =\parallel = \ \ \exists x \in N: x<5
Dieses stimmt, zum Beispiel fuer x=3. (*) ist daher faslch. Man muss nur ein Gegenbeispiel nennen.

Beispiel 4
\displaystyle \exists x \in N: x^2=2
Verneinung:
\displaystyle \exists x \in N: x^2=2 \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: \neg (x^2=2) \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: x^2 \ne 2

Beispiel 5
\displaystyle \forall n \in N: n^2\ne 2
\displaystyle \forall n \in N_{\ge 1} : 2^n >n
\displaystyle \forall n \in N_{\ge 1} : 1+3+5+...+(2n-1)= n^2

Beispiel 6
Induktion fuer \displaystyle \forall n \in N_{\ge 1} : 2^n >n
(IA) Fuer n=1 ist \displaystyle 2^1>n
(IV) Wir nehmen fuer ein festes n an: Die Aussage gilt fuer \displaystyle 2^n>n
(IS) Zu zeigen ist die Aussage fuer n+1, d.h. zeige \displaystyle 2^{n+1}>n+1.
Benutze hier immer das die Induktionsvoraussetzung \displaystyle 2^1>n stimmt.
Es ist:
\displaystyle 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n >^{IV} 2 \cdot n = n+n \ge ^{\text{,da} n\ge 1} n+1
Also: \displaystyle 2^{n+1} > n+1

Beispiel 1

1. 
   Summe der ersten n natuerlichen Zaheln:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{i}={1+2+3+...+n}
2. 
   Summe der ersten n geraden Zahelen:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{2i}={2+4+6+...+2n}
3. 
   Summe der ersten n ungeraden Zahlen:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{2i-1}={1+3+5+...+(2n-1)}
4. 
   Summe von n Einsen:
   \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{1}={1+1+...+1}=n (n-mal 1)
5. 
   Summe von der 10. bis zur 20. geraden Zahl:
   \displaystyle \sum^{20}_{i=10}{2i}={20+22+...+40} (11 Summanden)

Beispiel 2
\displaystyle \prod^{3}_{k=1}{2k+1}=3\cdot 5\cdot 7=105
\displaystyle n!=\prod^{n}_{i=1}{i}

Beispiel
]a,b]=[a,b] \ {a}
A\displaystyle \cap \not \circ = \not \circ
B\displaystyle \subseteq A \displaystyle \Rightarrow (A \displaystyle \cap B=B)