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Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte <math> \star \diamond \bigcirc </math> <br> in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte <math> \star \diamond \bigcirc </math> <br> in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?
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Es gibt <math> 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 </math> (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&ume;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&ume;r den dritten Gegenstand.
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Es gibt <math> 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 </math> (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&uume;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&uume;r den dritten Gegenstand.
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Stichproben aus n- elementigen Mengen:
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Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung)
Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung)
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1. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
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4. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
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Also gibt es <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 </math> Möglichkeiten.
Also gibt es <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 </math> Möglichkeiten.
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Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.
Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.
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1.Ziehen : 6 Möglichkeiten
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2.Ziehen : 5 Möglichkeiten
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insgesamt: <math> 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 </math> Möglichkeiten.
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<math> 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{6!}{(6-4)!}</math>
<math> 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{6!}{(6-4)!}</math>
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<math> \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}</math>
<math> \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}</math>
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Hierf&uume;r ben&oome;tigt man den [[Binomialkoeffizient]] der hier noch einmal ausf&uume;rlicher erkl&aame;rt wird.
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Hierf&u ume;r ben&oome;tigt man den [[Binomialkoeffizient]] der hier noch einmal ausf&u ume;rlicher erkl&a ume;rt wird.
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mit <math> n /in N , k /in N , n /ge k </math>
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mit <math> n \in N , k \in N , n \ge k </math>
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Zusammenfassung Urnenmodell:
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'''Zusammenfassung Urnenmodell'''
Das Urnenmodell ist ein allgemeines Beispiel für die Kombinatorik. Hier ist die Idee ein Behältnis mit n Kugeln zu haben aus dem man k mal zieht. Die Beispiele von oben lassen sich durch das Modell und die dazugehörigen Formeln alle rechnen.
Das Urnenmodell ist ein allgemeines Beispiel für die Kombinatorik. Hier ist die Idee ein Behältnis mit n Kugeln zu haben aus dem man k mal zieht. Die Beispiele von oben lassen sich durch das Modell und die dazugehörigen Formeln alle rechnen.
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6.1. Logische Grundlagen (Aussagenlogik)
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== 6.1. Logische Grundlagen (Aussagenlogik) ==
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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"7 ist gerade" f
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"7 ist eine Primzahl" w
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"7 teilt 42" w
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"7 < 3" f
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Aussagen koennen mit A, B, C, ... bezeichnet werden.
Aussagen koennen mit A, B, C, ... bezeichnet werden.
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z.B. A: "3 < 7"
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== B - Verknuepfung von Aussagen ==
== B - Verknuepfung von Aussagen ==
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logisches "und" ( <math> \wedge </math> )
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'''Logisches "und" ( <math> \wedge </math> )'''
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A : "<math> 5 \le 7 </math>" w
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A : "<math> 5 \le 7 </math>" w
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B : "<math> 7 \ge 3 </math>" w
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<br>B : "<math> 7 \ge 3 </math>" w
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<math> A \wedge B : "5 \le 7" </math> und "<math> 7 \ge 3 </math>" w
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<math> A \wedge B : "5 \le 7" </math> und "<math> 7 \ge 3 </math>" w
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logisches "oder" (<math> \vee </math>) (lat. vel = oder)
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'''Logisches "oder" (<math> \vee </math>) (lat. vel = oder)'''
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''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
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A: "<math> \pi > 0 </math>" w
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B: "7 teilt 42 " w
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== c - Verneinung ==
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<math> \neg </math> "nicht"
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z.B. A: "<math> 3 < 7 </math>"
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<math> \neg </math> A: "<math> 3 \ge 7 </math>"
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<math> \neg </math> A und <math> \neg \neg \neg</math> A liefern fuer jeden Wahrheitswert von A denselben Wert.
<math> \neg </math> A und <math> \neg \neg \neg</math> A liefern fuer jeden Wahrheitswert von A denselben Wert.
Dafuer schreibt man
Dafuer schreibt man
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<math> \neg </math> A <math> =\parallel = \neg \neg \neg</math> A.
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== E - Regel von de Morgan ==
== E - Regel von de Morgan ==
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<math> \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B (= (\neg A) \vee (\neg B)) </math>
<math> \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B (= (\neg A) \vee (\neg B)) </math>
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A: "Ich bin schlecht in Mathe."
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<br>A: "Ich bin schlecht in Mathe."
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B: "Ich bin schlecht in Deutsch."
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<math>\neg (A \vee B) =\parallel = \neg A \wedge \neg B </math>
<math>\neg (A \vee B) =\parallel = \neg A \wedge \neg B </math>
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A: "Ich bin besoffen."
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B: "Ich bin muede."
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== D - Implikationen ==
== D - Implikationen ==
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Wir definieren A <math>\Rightarrow</math>B (immer wenn A gilt, dann auch B) per Wahrheitswerttabelle.
Wir definieren A <math>\Rightarrow</math>B (immer wenn A gilt, dann auch B) per Wahrheitswerttabelle.
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<math>A \Rightarrow B := \neg(A \wedge \neg B) (=\neg A \vee \neg \neg B = \neg A \vee B</math>
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<math>A \Rightarrow B := \neg(A \wedge \neg B) (=\neg A \vee \neg \neg B = \neg A \vee B)</math>
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Aequivalenz
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== E - Aequivalenz ==
A <math>\Leftrightarrow</math> B:= (A <math>\Rightarrow</math> B) <math>\wedge</math> (B<math>\Rightarrow</math>A)
A <math>\Leftrightarrow</math> B:= (A <math>\Rightarrow</math> B) <math>\wedge</math> (B<math>\Rightarrow</math>A)
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Kontraproition
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== F - Kontraproition ==
A <math>\Rightarrow</math> B <math>=\parallel =</math> <math>\neg</math>B <math>\Rightarrow</math><math>\neg</math>A
A <math>\Rightarrow</math> B <math>=\parallel =</math> <math>\neg</math>B <math>\Rightarrow</math><math>\neg</math>A
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Beipiel:
Beipiel:
"Wenn x <math>\in N</math> durch 4 teilbar isr, dann auch durch 2."
"Wenn x <math>\in N</math> durch 4 teilbar isr, dann auch durch 2."
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"Wenn x <math>\in N</math> nicht durch 2 teilbar isr, dann auch nicht durch 4."
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A <math>\Rightarrow \ne \neg</math> A <math>\Rightarrow \neg</math> B)
A <math>\Rightarrow \ne \neg</math> A <math>\Rightarrow \neg</math> B)
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== E - Aussageformen ==
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== G - Aussageformen ==
beinhaltet im Gegensatz zu Aussagen belegbare Variablen.
beinhaltet im Gegensatz zu Aussagen belegbare Variablen.
Abbkuerzung
Abbkuerzung
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A(x) : "x gerade"
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B(x,y): "x ist kleiner als y"
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C(x,y): "x+y=1"
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D(x): "x<9"
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<br>D(x): "x<9"
Man kann keinen Wahrheitswertzuordnen.
Man kann keinen Wahrheitswertzuordnen.

Version vom 17:01, 30. Sep. 2009

Inhalt:

  • erster Punkt
  • zweiter Punkt
  • dritter Punkt

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • erstes Ziel
  • zweites Ziel

Kombinatorik

Inhaltsverzeichnis

A - Permutationen

Permutationen sind die Anzahl der Möglichkeiten, die Anordnung von Gegenständen zu Vertauschen, also die Anzahl der Weisen Objekte anzuordnen.

Beispiel 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte \displaystyle \star \diamond \bigcirc
in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?

\displaystyle \star \ \ \diamond \ \ \bigcirc
\displaystyle \star \ \ \bigcirc \ \ \diamond
\displaystyle \diamond \ \ \bigcirc \ \ \star
\displaystyle \diamond \ \ \star \ \ \bigcirc
\displaystyle \bigcirc \ \ \star \ \ \diamond
\displaystyle \bigcirc \ \ \diamond \ \ \star


Es gibt \displaystyle 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&uume;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&uume;r den dritten Gegenstand.


Allgemein:
Für eine Gruppe von n Elementen gibt es \displaystyle n! := n (n-1) (n-2) … \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 Möglichkeiten („n Fakultät“) die Objekte hintereinander anzuordnen (n! Permutationen). Mit der zusätzlichen Definition \displaystyle 0! := 1 .

Beispiel 2

  1. Möglichkeiten der Anordnung von \displaystyle a, m, b, u ? \displaystyle 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
  2. \displaystyle \dfrac{5!}{3!} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 4
  3. \displaystyle \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} = \dfrac {(n+1) n (n-1) (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{(n-1)(n-2) \cdot …. \cdot 2 \cdot 1} = (n+1) n
  4. \displaystyle 2n! = 2 \cdot n \cdot (n-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1 \displaystyle (2n)! = 2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

A - Stichproben aus n- elementigen Mengen

Beispiel 3

Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung)
1. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
2. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
3. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
4. Buchstabe: 6 Möglichkeiten

Also gibt es \displaystyle 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 Möglichkeiten.


Allgemein:
Es gibt \displaystyle n^k Möglichkeiten der Anordnung, die beim k- maligen Auswählen aus n Objekten mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge entstehen können.

Beispiel 4

Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.


1.Ziehen : 6 Möglichkeiten
2.Ziehen : 5 Möglichkeiten
3.Ziehen : 4 Möglichkeiten
4.Ziehen : 3 Möglichkeiten
insgesamt: \displaystyle 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 Möglichkeiten. \displaystyle 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{6!}{(6-4)!}


Allgemein:
Es gibt \displaystyle n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} Möglichkeiten aus n Objekten k Stück unter Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszusuchen.

Beispiel 5

„Lotto“ mit Reihenfolge

Anzahl der Möglichkeiten: \displaystyle \dfrac{49!}{(49-6)!} = 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \approx 10 \cdot 10^9 (*)

Aber: Die Reihenfolge ist bei echtem Lotto unwichtig. Für sechs feste Zahlen sind 6! Kombinationen in (*) enthalten.

Beispiel 6

Also: „echtes“ Lotto \displaystyle \dfrac{49!}{(49-6)!} \cdot \dfrac{1}{6!} = \dfrac{49!}{(49-6)!6!} = \binom{49}{6} \approx 13 \cdot 10^6 Möglichkeiten.

Auswahlmöglichkeiten für k aus n Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:

\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}

Hierf&u ume;r ben&oome;tigt man den Binomialkoeffizient der hier noch einmal ausf&u ume;rlicher erkl&a ume;rt wird.

mit \displaystyle n \in N , k \in N , n \ge k

Zusammenfassung Urnenmodell Das Urnenmodell ist ein allgemeines Beispiel für die Kombinatorik. Hier ist die Idee ein Behältnis mit n Kugeln zu haben aus dem man k mal zieht. Die Beispiele von oben lassen sich durch das Modell und die dazugehörigen Formeln alle rechnen.

Mit Zurücklegen Ohne Zurücklegen
Reihenfolge wichtig \displaystyle n^k

(Beispiel 3)

\displaystyle \dfrac{n!}{(n-k)!}

(Beispiel 4)

Reihenfolge unwichtig \displaystyle \binom{n+k-1}{k}

(wird selten gebraucht, hier ist es aber der Vollständigkeit halber aufgeführt)

\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}

(Beispiel 6)

Beispiel 7

Wähle 3 Personen aus 10 aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Nach Urnenmodell: Ziehe 3 aus 10, ohne Zurück legen und ohne Reihenfolge.

Es gilt \displaystyle \binom{10}{3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 Möglichkeiten

Beispiel 8

Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Skat spielen 32 Karten auf 3 Spieler (10 Karten) zu und Skat (2 Karten) zu verteilen?

Kombinationen f&ume;r den 1.Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen f&ume;r den 2. Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen f&ume;r den 3. Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen f&ume;r den 4. Spieler \displaystyle = \binom{32}{10} \cdot \binom{22}{10} \cdot \binom{12}{10} \cdot \binom{2}{2} \displaystyle =\dfrac{32!}{22! \cdot 10!} \cdot \dfrac{22!}{12! \cdot 10!} \cdot \dfrac{12!}{2! \cdot 10!} \cdot \dfrac{2!}{2! \cdot 0!} \displaystyle =\dfrac{32!}{10! \cdot 10! \cdot 10! \cdot 2!}.

(Bemerkung: Es gibt auch noch andere Rechnungen, die auf das gleiche Ergebnis führen.)

Allgemein:
Es gibt \displaystyle \dfrac{n!}{k_1! k_2! … k_i!} Möglichkeiten, n Objekte auf i Gruppen zu verteilen, wobei jede Gruppe \displaystyle k_j Elemente haben soll. (im Beispiel: \displaystyle n=32, j=4 Gruppen \displaystyle , k_1=10, k_2=10, k_3=10, k_4=2)


6. Mathematische Formalismen 6.1. Logische Grundlagen 6.2. Beweise 6.3. Mathematische Zeichen, Formeln und Texte


6.1. Logische Grundlagen (Aussagenlogik)

Beispiel 1
"7 ist gerade" f
"7 ist eine Primzahl" w
"7 teilt 42" w
"7 < 3" f

A - Aussagen

Aussagen (im mathematischen Sinne) haben einen Wahrheitswert, n&aume;mlich wahr(w, 1) oder falsch(f, 0). Das heisst bei einer Aussage muss sicher fest stehen ob sie wahr oder falsch ist. S&aume;tze wie "Mathe ist doof" oder "Es regnet" sind daher im mathematischen Sinne keine Aussagen, da sie nicht eindeutig wahr oder falsch sind.

Aussagen koennen mit A, B, C, ... bezeichnet werden.
z.B. A: "3 < 7"


B - Verknuepfung von Aussagen

Logisches "und" ( \displaystyle \wedge )

A : "\displaystyle 5 \le 7 " w
B : "\displaystyle 7 \ge 3 " w

\displaystyle A \wedge B : "5 \le 7" und "\displaystyle 7 \ge 3 " w

A B A \displaystyle \wedge B
w w w
w f f
f w f
f f f

Logisches "oder" (\displaystyle \vee ) (lat. vel = oder)

A B A \displaystyle \vee B
w w w
w f w
f w w
f f f

Beispiel 2
A: "\displaystyle \pi > 0 " w
B: "7 teilt 42 " w
A \displaystyle \vee B w


c - Verneinung

\displaystyle \neg "nicht"
z.B. A: "\displaystyle 3 < 7 "
\displaystyle \neg A: "\displaystyle 3 \ge 7 "

A \displaystyle \neg A
w f
f w

D - Tautologische Aequivalenzen

Betrachte \displaystyle \neg A und \displaystyle \neg \neg \neg A

A \displaystyle \neg A \displaystyle \neg \neg A \displaystyle \neg \neg \neg A
w f w f
f w f w

\displaystyle \neg A und \displaystyle \neg \neg \neg A liefern fuer jeden Wahrheitswert von A denselben Wert. Dafuer schreibt man
\displaystyle \neg A \displaystyle =\parallel = \neg \neg \neg A.

E - Regel von de Morgan

\displaystyle \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B (= (\neg A) \vee (\neg B)) Beweis:

A B A \displaystyle \wedge B \displaystyle \neg(A\displaystyle \wedgeB) \displaystyle \negA \displaystyle \negB \displaystyle \negA \displaystyle \vee \negB
w w w \displaystyle \color{red}{f} f f \displaystyle \color{red}{f}
w f f \displaystyle \color{red}{w} f w \displaystyle \color{red}{w}
f w f \displaystyle \color{red}{w} w f \displaystyle \color{red}{w}
f f f \displaystyle \color{red}{w} w w \displaystyle \color{red}{w}

\displaystyle \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B (= (\neg A) \vee (\neg B))
A: "Ich bin schlecht in Mathe."
B: "Ich bin schlecht in Deutsch."

\displaystyle \neg (A \vee B) =\parallel = \neg A \wedge \neg B
A: "Ich bin besoffen."
B: "Ich bin muede."


D - Implikationen

Wir definieren A \displaystyle \RightarrowB (immer wenn A gilt, dann auch B) per Wahrheitswerttabelle.

\displaystyle A \Rightarrow B := \neg(A \wedge \neg B) (=\neg A \vee \neg \neg B = \neg A \vee B)

A B \displaystyle \neg B A \displaystyle \wedge \neg B \displaystyle \neg (A \displaystyle \wedge \neg B)
w w f f w
w f w w f
f w f f w
f f w f w

E - Aequivalenz

A \displaystyle \Leftrightarrow B:= (A \displaystyle \Rightarrow B) \displaystyle \wedge (B\displaystyle \RightarrowA)

F - Kontraproition

A \displaystyle \Rightarrow B \displaystyle =\parallel = \displaystyle \negB \displaystyle \Rightarrow\displaystyle \negA

Beipiel: "Wenn x \displaystyle \in N durch 4 teilbar isr, dann auch durch 2."
"Wenn x \displaystyle \in N nicht durch 2 teilbar isr, dann auch nicht durch 4."

A B A\displaystyle \RightarrowB \displaystyle \neg A \displaystyle \neg B \displaystyle \neg B \displaystyle \Rightarrow \negA
w w \displaystyle \color{red}{w} f f \displaystyle \color{red}{w}
w f \displaystyle \color{red}{f} w f \displaystyle \color{red}{f}
f w \displaystyle \color{red}{w} f w \displaystyle \color{red}{w}
f w \displaystyle \color{red}{w} f w \displaystyle \color{red}{w}
f f \displaystyle \color{red}{w} w w \displaystyle \color{red}{w}

(Vorsicht: A \displaystyle \Rightarrow \ne \neg A \displaystyle \Rightarrow \neg B)

G - Aussageformen

beinhaltet im Gegensatz zu Aussagen belegbare Variablen.

Abbkuerzung
A(x) : "x gerade"
B(x,y): "x ist kleiner als y"
C(x,y): "x+y=1"
D(x): "x<9"

Man kann keinen Wahrheitswertzuordnen.

Man kann A(x), B(x,y), ... auf zwei Arten zu verifizierbaren Aussagen machen:

  1. Werte einsetzen: z.B. A(5): "5 ist gerade" f A(10): "10 ist gerade" w C(10,9): "10+9=1" f
  2. Auswerten ueber einer Menge
    1. "fuer alle" z.B. Fuer alle x \displaystyle \in N gilt A(x). ("alle x \displaystyle \in N sind gerade")

      Kurz: \displaystyle \forall x \in N : A(x) f

      Beispiel 2: Fuer alle x \displaystyle \in R_{<0} und alle y \displaystyle \in R_{\ge 0} gilt B(x,y).

      Kurz: \displaystyle \forall x \in R_{<0} \forall y \in R_{\ge 0}: B(x,y) w

      Der Wahrheitswert haengt (ueber den Quantor (\displaystyle \forall) ) von der Menge ab.

    2. "es existiert" z.B es existiert ein x \displaystyle \in N das gerade ist (d.h. A(x) gilt.).

      Kurz \displaystyle \exists x \in N : A(x) w z.B. x=2 oder z.B. \displaystyle \exists x \in N \exists y \in N: c(x,y) w z.B. x=0, y=1

      Der Wahrheitswert haengt wieder (ueber den Quantor (\displaystyle \exists) ) von der Menge ab.

    Mischung aus a) und b) \displaystyle \forall x \in R \exists y \in R: C(x,y) w (z.B. y=-x+1 dann x+y=x-x+1=1) nicht vertauschen

    \displaystyle \exists y \in R \forall x \in R: x+y=1 f
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/ZusatzStoffTUB“