Lösung 4.4:5a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}} | ||
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(Die einzige Ausnahme ist, wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkel sind) | (Die einzige Ausnahme ist, wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkel sind) | ||
Aktuelle Version
Betrachten wir die Gleichung
| \displaystyle \sin u = \sin v, | (*) |
wobei u eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich
| \displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.} |
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/a/9/c/a9cbc68d7c54777d3fe9851e6ccb13ca.png)
(Die einzige Ausnahme ist, wenn \displaystyle u = \pi/2 oder \displaystyle u=3\pi/2, da in diesen Fällen \displaystyle u und \displaystyle \pi-u dieselben Winkel sind)
Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zur Lösung addieren:
| \displaystyle v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,. |
Für unsere Gleichung
| \displaystyle \sin 3x = \sin x |
erhalten wir die Lösungen
| \displaystyle 3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.} |
Lösen wir x, erhalten wir
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x &= 0+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
