2.3 Quadratische Gleichungen

Beispiel 1

1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Lösungen \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann man als \displaystyle x^2=9 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann man als \displaystyle x^2=5 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn \displaystyle x^2 ≥ 0).
   (Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)

Beispiel 2

1. Löse die einfache quadratische Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.
   
   Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 1a) und erhalten
   • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, also \displaystyle x=1+4=5,
   • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, also \displaystyle x=1-4=-3.
2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.
   
   Wir addieren \displaystyle 8 auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch \displaystyle 2,

   \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

   Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese lösen wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die Lösungen sind

   • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
   • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Beispiel 3

1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.
   
   Wir benutzen die quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)

   \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

   wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

   \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

   geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln

   • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
   • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.
   
   Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2

   \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

   Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

   \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.

   Dies ergibt die Gleichung

   \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

   mit den Wurzeln

   • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
   • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Beispiel 4

1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-4x=0.
   
   Wir können die linke Seite faktorisieren, nachdem der Faktor \displaystyle x in allen Termen auftritt

   \displaystyle x(x-4)=0.

   Die linke Seite der Gleichung ist nur dann null, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
   • \displaystyle x =0,\quad oder
   • \displaystyle x-4=0\quad. Dies ergibt die Lösungen \displaystyle \quad x=4.

Beispiel 5

Beispiel 6

Beispiel 7

Bestimme den Schnittpunkt der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, mit der \displaystyle x-Achse.

Alle Punkte auf der \displaystyle x-Achse haben den \displaystyle y-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der \displaystyle x-Achse liegen, haben also die \displaystyle y-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung

quadratische Ergänzung gibt

und schließlich

Wir erhalten die Wurzeln

• \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad also \displaystyle \quad x=2+1=3,
• \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad also \displaystyle \quad x=2-1=1.

Die Schnittpunkte der \displaystyle x-Achse mit der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, sind \displaystyle (1,0) und \displaystyle (3,0).

Beispiel 8

Bestimme den kleinsten Wert des Ausdruckes \displaystyle \,x^2+8x+19\,.

Wir verwenden die quadratische Ergänzung

und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate \displaystyle (x+4)^2 immer größer oder gleich 0 ist.

In der Figur unten sehen wir, dass die Parabel \displaystyle y=x^2+8x+19 oberhalb der \displaystyle x-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn \displaystyle x=-4.