Lösung 1.1:5c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
(einige der Zeilen waren auf englisch geschrieben) |
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Also haben wir <math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}</math>. | Also haben wir <math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}</math>. | ||
| - | Nachdem es relativ | + | Nachdem es relativ umständlich ist |
<math>{5}/{8}\;</math> | <math>{5}/{8}\;</math> | ||
| - | + | und | |
| - | <math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als | + | <math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Brüche mit gemeinsamen Nenner und vergleichen |
<math>{5}/{8}\;</math> | <math>{5}/{8}\;</math> | ||
und | und | ||
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mit | mit | ||
<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math> und | <math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math> und | ||
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Wir beginnen damit | Wir beginnen damit | ||
<math>{5}/{8}\;</math> | <math>{5}/{8}\;</math> | ||
Version vom 12:56, 8. Aug. 2009
Von den vorigen Übungen haben wir folgendes
\displaystyle \begin{align} & \frac{1}{2}=0.5 \\ & \\ & \frac{2}{3}=2\centerdot \frac{1}{3}=0.666... \\ & \\ & \frac{3}{5}=3\centerdot \frac{1}{5}=3\centerdot 0.2=0.6 \\ \end{align}
\displaystyle
Also haben wir \displaystyle {1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}.
Nachdem es relativ umständlich ist \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Brüche mit gemeinsamen Nenner und vergleichen \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\;. Wir beginnen damit \displaystyle {5}/{8}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; zu vergleichen.
- Dies ergibt
\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8} , also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{5}{8} .
- und
\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 5}{8\centerdot 5}=\frac{25}{40} , also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.
- und schließlich
\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}, also \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.
Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;
Jetzt vergleichen wir
\displaystyle {21}/{34}\;
mit
\displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\; und \displaystyle {2}/{3}\; dies ergibt
- \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}, also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}
- \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}, also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.
- \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}, also \displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.
Zusammen bekommen wir schließlich
\displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.
