Lösung 4.2:3e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv. | Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv. | ||
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Version vom 17:19, 23. Jul. 2009
Die Gerade mit dem Winkel \displaystyle 3\pi/4 zur positiven x-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.
Nachdem die y-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch \displaystyle \sin (3\pi/4) positiv.
Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel \displaystyle \sin (3\pi/4) zur x-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:
In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha zwischen der Hypotenuse und der y-Achse der Teil des Winkels \displaystyle 3\pi/4 ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist \displaystyle \alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:
 | \displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align} |
Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten \displaystyle (-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2}), somit ist \displaystyle \sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,.
