Lösung 4.1:7a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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<center>{{:4.1.7a - Solution - The circle x² + 2x + y² - 2y = 1}}</center>

Aktuelle Version

In dieser Form, ist es schwierig den Mittelpunkt und Radius des Kreises abzulesen. Daher benuzen wir quadratische Ergänzung, um die Gleichung auf die Standardform

\displaystyle (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,,

zu bringen, wo wir den Mittelpunkt und Radius ablesen können.

Wir verwenden uns von quadratischer Ergänzung für jeweils die x- und y-Terme und erhalten

\displaystyle \begin{align}

x^2 + 2x &= (x+1)^2-1^2\,\text{ und}\\[5pt] y^2 - 2y &= (y-1)^2-1^2\,. \end{align}

Also ist die Gleichung

\displaystyle (x+1)^2 - 1^2 + (y-1)^2 - 1^2 = 1\,,

oder auch

\displaystyle (x+1)^2 + (y-1)^2 = 3\,\textrm{.}

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (-1,1) und dem Radius \displaystyle \sqrt{3}\,.


[Image]

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