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Lösung 3.4:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, und also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,
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Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
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und sammeln alle Terme auf einer Seite:
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und sammeln alle Terme auf einer Seite
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
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Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und daher <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, also ist die rechte Seite positiv.
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Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv.
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Daher hat die Gleichung die Lösungen
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Also hat die Gleichung die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}

Version vom 10:32, 9. Aug. 2009

Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

Linke SeiteRechte Seite=ln2−x2=−x2ln2=ln2e2x=ln2+lne2x=ln2+2xlne=ln2+2x1.

Diese Gleichung entspricht

x2+2ln2x+1=0.

Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung

x+1ln22−1ln22+1=0 

und sammeln alle Terme auf einer Seite

x+1ln22=1ln22−1. 

Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben e2 deshalb ln2lne=1. Also haben wir (1ln2)21, daher ist die rechte Seite positiv.

Also hat die Gleichung die Lösungen

x=−1ln21ln22−1 

was auch als

x=ln2−11−(ln2)2. 

geschrieben werden kann.

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