Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 11:49, 10. Jun. 2009 (bearbeiten) Markus.bez (Diskussion | Beiträge) K ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (10:20, 9. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Moni (Diskussion | Beiträge)
Zeile 11:		Zeile 11:
	{{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}}
-	Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind:	+	Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind
	{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.</math>}}
Zeile 27:		Zeile 27:
	{{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}}
-	Die gemeinsamen <math>x^2</math>-Terme löschen sich aus, und wir bekommen	+	Die gemeinsamen <math>x^2</math>-Terme löschen sich aus und wir bekommen
	{{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}}
-	Diese Gleichung kann wie <math>64x = 80</math> geschrieben werden, und dies ergibt	+	Diese Gleichung kann wie <math>64x = 80</math> geschrieben werden und dies ergibt
	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}}

---

Aktuelle Version

Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2

Wir erweitern die linke Seite, und erhalten

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.

Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung

\displaystyle x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}

Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind

\displaystyle 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.

Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir

\displaystyle \bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.

Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.

\displaystyle 4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}

Wir erweitern beide Seiten und erhalten

\displaystyle 4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100

Die gemeinsamen \displaystyle x^2-Terme löschen sich aus und wir bekommen

\displaystyle 24x+20=-40x+100\,\textrm{.}

Diese Gleichung kann wie \displaystyle 64x = 80 geschrieben werden und dies ergibt

\displaystyle x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}

Wir kontrollieren, ob die Wurzel \displaystyle x=5/4 die ursprüngliche Gleichung erfüllt:

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt] &= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die Lösung \displaystyle x=5/4\,.