Lösung 3.1:3b - Online Mathematik Brückenkurs 1

-                      Willkommen zum Kurs
                       
                        Infos zum Kurs 
                        Infos zu den Prüfungen
                      
                    
                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
		       Suche
+			Lösung 3.1:3b
			
			  Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
			  (Unterschied zwischen Versionen)
			  			                            Wechseln zu: Navigation, Suche
                          
		          
			
			
			
			
			
			
				Version vom 09:40, 10. Jun. 2009 (bearbeiten)
Markus.bez  (Diskussion | Beiträge)
K 
← Zum vorherigen Versionsunterschied
				Aktuelle Version (10:10, 9. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
Moni  (Diskussion | Beiträge) 
 
			
		Zeile 13:
Zeile 13:
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt]  \sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] 
- \sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,, + \sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,. 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- Für den Bruch gilt also: + Für den Bruch gilt also
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
Aktuelle Version
Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.
Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\ 
&= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt] 
18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}. 
\end{align}



Also 





\displaystyle \begin{align}
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] 
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,. 
\end{align}



Für den Bruch gilt also





\displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}


Hinweis: Wir können auch mit Potenzen rechnen





\displaystyle \begin{align}
\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
&= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
= \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}}
= \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt] 
&= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1}
= 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}}
= \frac{4}{\sqrt{3}}
= \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:3b“
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt]
-\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,,
+\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,.
 \end{align}</math>}}
-Für den Bruch gilt also:
+Für den Bruch gilt also
 {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\ 
&= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt] 
18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}. 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] 
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,. 
\end{align}
 \displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
&= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
= \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}}
= \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt] 
&= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1}
= 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}}
= \frac{4}{\sqrt{3}}
= \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
\end{align}