Lösung 2.3:10b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel|| | {{Abgesetzte Formel|| | ||
| - | <math>y_{\scriptstyle\text{ | + | <math>y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}} |
Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir | Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir | ||
Version vom 11:57, 22. Jul. 2009
Die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} definiert das Gebiet unter der Parabel \displaystyle y=1-x^{2}. Die andere Ungleichung \displaystyle x\ge 2y-3 können wir wie \displaystyle y\le x/2+3/2 schreiben, und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade \displaystyle y=x/2+3/2.
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| Das Gebiet y ≤ 1 - x² | Das Gebiet x ≥ 2y - 3 |
Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} auch die Ungleichung \displaystyle y\le x/2+3/2 erfüllt.
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| Das Gebiet y ≤ 1 - x² und x ≥ 2y - 3 |
Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der y-Wert der Gerade immer größer als der y-Wert der Parabel für denselben x-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied
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\displaystyle y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.} |
Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} &= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt] &= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{7}{16} \end{align} |
Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem \displaystyle \tfrac{7}{16} positiv ist, und \displaystyle \bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2} immer größer als oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.
