Lösung 2.1:5b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner <math>y(y-2)(y+2)</math> ist. | und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner <math>y(y-2)(y+2)</math> ist. | ||
| - | Jetzt erweitern wir die beiden Brüche sodass sie denselben Nenner bekommen | + | Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Der Zähler kann wie <math>-y+2=-(y-2)</math> geschrieben werden | + | Der Zähler kann wie <math>-y+2=-(y-2)</math> geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor <math>y-2</math> kürzen |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir faktorisieren die beiden Nenner
| \displaystyle \begin{align}
y^{2}-2y &= y(y-2)\\ y^{2}-4 &= (y-2)(y+2) \end{align} |
und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle y(y-2)(y+2) ist.
Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4} &= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt] &= \frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} - \frac{2y}{(y-2)(y+2)y}\\[5pt] &= \frac{y+2-2y}{y(y-2)(y+2)}\\[5pt] &= \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)}\,\textrm{.} \end{align} |
Der Zähler kann wie \displaystyle -y+2=-(y-2) geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor \displaystyle y-2 kürzen
| \displaystyle \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.} |
