Lösung 4.4:6b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
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Die Gleichung ist nur erfüllt wenn einer der Faktoren <math>\cos x</math> oder <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> null ist. Also gibt es zwei Fälle:
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Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>\cos x</math> oder <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> null ist. Also gibt es zwei Fälle:
<math>\cos x=0:</math>
<math>\cos x=0:</math>
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Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x=\pi/2</math> und <math>x=3\pi/2</math> im Einheitskreis, und die allgemeine Lösung ist
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Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x=\pi/2</math> und <math>x=3\pi/2</math> auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
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Nachdem sich die Winkeln <math>\pi/2</math> und
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Nachdem sich die Winkel <math>\pi/2</math> und
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<math>3\pi/2</math> nur mit <math>\pi</math> unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch
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<math>3\pi/2</math> nur um <math>\pi</math> unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
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<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
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Die Gleichung entspricht <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math>, mit den Lösungen <math>x=\pi/4</math> und <math>x=3\pi /4</math> im Einheitskreis, und den allgemeinen Lösungen
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Die Gleichung entspricht <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> mit den Lösungen <math>x=\pi/4</math> und <math>x=3\pi /4</math> auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}

Aktuelle Version

Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0

wo wir den Faktor \displaystyle \cos x herausziehen können,

\displaystyle \cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0

Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle \cos x oder \displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 null ist. Also gibt es zwei Fälle:


\displaystyle \cos x=0:

Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=\pi/2 und \displaystyle x=3\pi/2 auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,

Nachdem sich die Winkel \displaystyle \pi/2 und \displaystyle 3\pi/2 nur um \displaystyle \pi unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,



\displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 = 0:

Die Gleichung entspricht \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} mit den Lösungen \displaystyle x=\pi/4 und \displaystyle x=3\pi /4 auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen

\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,


Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.

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