Lösung 4.4:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Betrachten wir die Gleichung
Betrachten wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v</math>|(*)}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v,</math>|(*)}}
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wo ''u'' ein Konstant ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich
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wobei ''u'' eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}
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(Die einzige Ausnahme ist wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkeln sind)
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(Die einzige Ausnahme ist, wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkel sind)
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Wir erhalten die algemeine Lösung indem wir einen Multipel von <math>2\pi</math> zur Lösung addieren,
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Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zur Lösung addieren:
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.</math>}}
Für unsere Gleichung
Für unsere Gleichung

Version vom 14:32, 19. Jun. 2009

Betrachten wir die Gleichung

\displaystyle \sin u = \sin v, (*)

wobei u eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}

(Die einzige Ausnahme ist, wenn \displaystyle u = \pi/2 oder \displaystyle u=3\pi/2, da in diesen Fällen \displaystyle u und \displaystyle \pi-u dieselben Winkel sind)

Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zur Lösung addieren:

\displaystyle v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.

Für unsere Gleichung

\displaystyle \sin 3x = \sin x

erhalten wir die Lösungen

\displaystyle 3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}

Lösen wir x, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= 0+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

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