Lösung 4.4:4
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Hieraus sehen wir die Lösungen die im Intervall von <math>0^{\circ}</math> bis <math>360^{\circ}</math> sind: | Hieraus sehen wir die Lösungen die im Intervall von <math>0^{\circ}</math> bis <math>360^{\circ}</math> sind: | ||
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Version vom 10:46, 7. Apr. 2009
Wir finden zuerst die allgemeine Lösung der Gleichung, und sehen danach welche der Winkeln im Intervall zwischen \displaystyle 0^{\circ} und \displaystyle 360^{\circ}\, liegen.
Wir betrachten zuerst den Ausdruck \displaystyle 2v+10^{\circ}, und erhalten die Lösung
| \displaystyle 2v + 10^{\circ} = 110^{\circ}\,\textrm{.} |
Es gibt noch eine Lösung im Einheitskreis, nämlich im dritten Quadrant, mit denselben Winkel zur negativen y-Achse, wie der Winkel \displaystyle 110^{\circ} zur positiven y-Achse hat, nur mit anderen Vorzeichen. Daher erhalten wir die zweite Lösung
| \displaystyle 2v + 10^{\circ} = 270^{\circ} - 20^{\circ} = 250^{\circ}\,\textrm{.} |
und die allgemeine Lösung ist
| \displaystyle \left\{\begin{align} 2v + 10^{\circ} &= 110^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] 2v + 10^{\circ} &= 250^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,,\end{align}\right. |
Lösen wir w erhalten wir
| \displaystyle \left\{\begin{align} v &= 50^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] v &= 120^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\end{align}\right. |
für verschiedene n erhalten wir unter anderen die Lösungen
| \displaystyle \cdots\cdots | \displaystyle \cdots\cdots | \displaystyle \cdots\cdots | ||
| \displaystyle n=-2: | \displaystyle v = 50^{\circ} - 2\cdot 180^{\circ} = -310^{\circ} | \displaystyle v = 120^{\circ } - 2\cdot 180^{\circ} = -240^{\circ} | ||
| \displaystyle n=-1: | \displaystyle v = 50^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -130^{\circ} | \displaystyle v = 120^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -60^{\circ} | ||
| \displaystyle n=0: | \displaystyle v = 50^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 50^{\circ} | \displaystyle v = 120^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 120^{\circ} | ||
| \displaystyle n=1: | \displaystyle v = 50^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 230^{\circ} | \displaystyle v = 120^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 300^{\circ} | ||
| \displaystyle n=2: | \displaystyle v = 50^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 410^{\circ} | \displaystyle v = 120^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 480^{\circ} | ||
| \displaystyle n=3: | \displaystyle v = 50^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 590^{\circ} | \displaystyle v = 120^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 660^{\circ} | ||
| \displaystyle \cdots\cdots | \displaystyle \cdots\cdots | \displaystyle \cdots\cdots |
Hieraus sehen wir die Lösungen die im Intervall von \displaystyle 0^{\circ} bis \displaystyle 360^{\circ} sind:
| \displaystyle v = 50^{\circ},\quad v=120^{\circ },\quad v=230^{\circ}\quad\text{und}\quad v=300^{\circ}\,\textrm{.} |
