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Lösung 4.3:9

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
-
Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor <math>\sin 80^{\circ}</math>, nachdem wir den Faktor math>\cos 80^{\circ}</math> behalten möchten
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Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor <math>\sin 80^{\circ}</math>, nachdem wir den Faktor <math>\cos 80^{\circ}</math> behalten möchten:
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{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,.</math>}}
Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor <math>\sin 40^{\circ}</math>
Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor <math>\sin 40^{\circ}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
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Also haben wir gezeigt dass
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Also haben wir gezeigt, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
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oder anders geschrieben,
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Anders geschrieben:
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
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[[Image:4_3_9.gif||right]]
[[Image:4_3_9.gif||right]]
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Zeichnen wir den Winkel <math>160^{\circ}</math> im Einheitskreis, sehen wir dass der Winkel denselben ''y''-Koordinaten wie der Winkel <math>20^{\circ}</math> hat, und daher denselben Sinus. Also erhalten wir
+
Zeichnen wir den Winkel <math>160^{\circ}</math> im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe ''y''-Koordinate wie der Winkel <math>20^{\circ}</math> hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir
<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
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und also haben wir die Gleichung
+
Damit haben wir die Gleichung
<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>
<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>
- 
-
gezeigt.
 

Version vom 13:10, 19. Jun. 2009

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für sin160

sin160=2cos80sin80.

Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor sin80, nachdem wir den Faktor cos80 behalten möchten:

2cos80sin80=2cos802cos40sin40

Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor sin40

2cos802cos40sin40=2cos802cos402cos20sin20·

Also haben wir gezeigt, dass

sin160=8cos80cos40cos20sin20

Anders geschrieben:

cos80cos40cos20=sin1608sin20.

Zeichnen wir den Winkel 160 im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe y-Koordinate wie der Winkel 20 hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir

sin20=sin160.

Damit haben wir die Gleichung

cos80cos40cos20=sin1608sin20=81.
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