Lösung 4.2:3e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Sprache und Formulierung)
Zeile 1: Zeile 1:
-
Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadrant schneiden.
+
Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.
[[Image:4_2_3_e1.gif|center]]
[[Image:4_2_3_e1.gif|center]]
Zeile 5: Zeile 5:
Nachdem die 'y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.
Nachdem die 'y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.
-
Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, dass die Gerade mit den Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat, und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind.
+
Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:
[[Image:4_2_3_e_2.gif|center]]
[[Image:4_2_3_e_2.gif|center]]
-
In diesen Dreieck sehen wir dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse, der teil des Winkels <math>3\pi/4</math> der in den zweiten Quadrant liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können die Seiten des Dreiecks mit Trigonometrie berechnen.
+
In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 16: Zeile 16:
|}
|}
-
Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und den Einheitskreis die Koordinaten
+
Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten
<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und also ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.
<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und also ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Version vom 10:32, 18. Jun. 2009

Die Gerade mit dem Winkel \displaystyle 3\pi/4 zur positiven x-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.

Nachdem die 'y-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch \displaystyle \sin (3\pi/4) positiv.

Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel \displaystyle \sin (3\pi/4) zur x-Achse als Hypotenuse hat und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:

In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha zwischen der Hypotenuse und der y-Achse der Teil des Winkels \displaystyle 3\pi/4 ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist \displaystyle \alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}

Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten \displaystyle (-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2}) und also ist \displaystyle \sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.2:3e“