Lösung 2.3:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Die Gleichung kann jetzt wie
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Die Gleichung kann jetzt als
{{Abgesetzte Formel||<math>x(x-2)(x-1) = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x(x-2)(x-1) = 0</math>}}
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geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt wenn einer der Faktoren <math>x</math>, <math>x-2</math> oder <math>x-1</math> null ist. Also sind die Lösungen <math>x=0</math>, <math>x=2</math> und <math>x=1</math>.
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geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>x</math>, <math>x-2</math> oder <math>x-1</math> null ist. Also sind die Lösungen <math>x=0</math>, <math>x=2</math> und <math>x=1</math>.
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Nachdem es nicht ganz offenbar ist, ob <math>x=1</math> eine Lösung ist, kontrollieren wir ob so der Fall ist
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Nachdem es nicht ganz offensichtlich ist, ob <math>x=1</math> eine Lösung ist, kontrollieren wir, ob so der Fall ist
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) = 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}</math>
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) = 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}</math>

Version vom 12:47, 9. Jun. 2009

Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung;

\displaystyle x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2) \displaystyle x\cdot (2-x) = -x(x-2).

Nachdem wir den gemeinsamen Faktor \displaystyle x(x-2) haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \begin{align}

x(x^{2}-2x) + x(2-x) &= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt] &= x\bigl(x(x-2)-(x-2)\bigr)\\[5pt] &= x(x-2)(x-1)\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann jetzt als

\displaystyle x(x-2)(x-1) = 0

geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle x, \displaystyle x-2 oder \displaystyle x-1 null ist. Also sind die Lösungen \displaystyle x=0, \displaystyle x=2 und \displaystyle x=1.

Nachdem es nicht ganz offensichtlich ist, ob \displaystyle x=1 eine Lösung ist, kontrollieren wir, ob so der Fall ist

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) = 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}
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