2.3 Quadratische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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<ol type="a">
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-
<li>Solve the equation <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
-
On the left-hand side, we can factor out an <math>x</math>
+
Wir können die linke Seite faktorisieren nachdem der Faktor <math>x</math> in allen Termen auftritt
:<math>x(x-4)=0</math>.
:<math>x(x-4)=0</math>.
-
The equation on the left-hand side is zero when one of its factors is zero, which gives us two solutions
+
Die Linke Seite der Gleichung ist null nur dann wenn einer ihrer Faktoren null ist.
-
*<math>x =0,\quad</math> or
+
*<math>x =0,\quad</math> oder
-
*<math>x-4=0\quad</math> which gives <math>\quad x=4</math>.</li>
+
*<math>x-4=0\quad</math>. Dies ergibt die Lösungen <math>\quad x=4</math>.</li>
</ol>
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== Parabolas ==
+
== Quadratische Funktionen ==
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Functions
+
Die Funktionen
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}</math>}}
-
are examples of functions of the second degree. In general, a function of the second degree can be written as
+
sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>y=ax^2+bx+c</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=ax^2+bx+c</math>}}
-
where <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> are constants, and where <math>a\ne0</math>.
+
wo <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind, und <math>a\ne0</math>.
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The graph for a function of the second degree is known as a parabola and the figures show the graphs of two typical parabolas <math>y=x^2</math> and <math>y=-x^2</math>.
+
Die Funktionsgraphe einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Figuren zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>.
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center>
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center>
-
<center><small>The figure on the left shows the parabola <math>y=x^2</math> and figure to the right the parabola <math>y=-x^2</math>.</small></center>
+
<center><small>Die linke Figur zeigt die Parabel <math>y=x^2</math> und die rechte Figur zeigt die Parabel <math>y=-x^2</math>.</small></center>
-
As the expression <math>x^2</math> is minimal when <math>x=0</math> the parabola <math>y=x^2</math> has a minimum when <math>x=0</math> and the parabola <math>y=-x^2</math> has a maximum when <math>x=0</math>.
+
Nachdem der <math>x^2</math>-Term minimal ist wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> einen Tiefpunkt in <math>x=0</math>, und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat einen Tiefpunkt in <math>x=0</math>.
-
Note also that parabolas above are symmetrical about the <math>y</math>-axis, as the value of <math>x^2</math> does not depend on the sign of <math>x</math>.
+
Die beiden Parabeln oben sind auch symmetrisch um die <math>y</math>-Achse, nachdem der wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist.
<div class="exempel">
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{| width="100%"
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||<ol type="a">
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<li>Sketch the parabola <math>\ y=x^2-2</math>. <br><br>
+
<li>Zeichnen Sie die Parabel <math>\ y=x^2-2</math>. <br><br>
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Compared to the parabola <math>y=x^2</math> all points on the parabola (<math>y=x^2-2</math>) have <math>y</math>-values that are two units smaller, so the parabola has been displaced downwards two units along the <math>y</math>-direction.</li>
+
Im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math> hat diese Parabel(<math>y=x^2-2</math>) einen <math>y</math>-Wert der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel <math>y=x^2</math> einfach zwei Einheiten herunter.
 +
<math>y</math>-direction.</li>
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</ol>
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 2}}
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||<ol type="a" start=2>
||<ol type="a" start=2>
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<li> Sketch the parabola <math>\ y=(x-2)^2</math>. <br><br>
+
<li> Zeichnen Sie die Parabel <math>\ y=(x-2)^2</math>. <br><br>
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For the parabola <math>y=(x-2)^2</math> we need to choose <math>x</math>-values two units larger than for the parabola <math>y=x^2</math> to get the corresponding <math>y</math> values. So the parabola <math>y=(x-2)^2</math> has been displaced two units to the right, compared to <math>y=x^2</math>.</li>
+
Für die Parabel <math>y=(x-2)^2</math> müssen wir den <math>x</math>-Wert um zwei Einheiten weniger wählen, als für die Parabel <math>y=x^2</math>, um denselben <math>y</math>-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel <math>y=(x-2)^2</math>, die Parabel <math>y=x^2</math> zwei Einheiten nach rechts verschoben.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = (x - 2)²}}
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = (x - 2)²}}
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||<ol type="a" start=3>
||<ol type="a" start=3>
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<li> Sketch the parabola <math>\ y=2x^2</math>. <br><br>
+
<li> Zeichnen Sie die Parabel <math>\ y=2x^2</math>. <br><br>
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Each point on the parabola <math>y=2x^2</math> has twice as large a <math>y</math>-value as the corresponding point with the same <math>x</math>-value on parabola <math>y=x^2</math>. Thus parabola <math>y=2x^2</math> has been increased by a factor <math>2</math> in the <math>y</math>-direction as compared to <math>y=x^2</math>.
+
Jeder Punkt auf der Parabel <math>y=2x^2</math> hat, für denselben <math>x</math>-Wert, einen zwei Mal so großen <math>y</math>-Wert als die Parabel <math>y=x^2</math>. Also müssen wir die Parabel <math>y=x^2</math> um einen Faktor <math>2</math> in der <math>y</math>-Richtung vergrößern, um die Parabel <math>y=2x^2</math> zu bekommen.
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = 2x²}}
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = 2x²}}
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</div>
</div>
-
All sorts of parabolas can be handled by the completing the square method.
+
Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man sich von quadratischer Ergänzung benutzt.
<div class="exempel">
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{| width="100%"
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||Sketch the parabola <math>\ y=x^2+2x+2</math>.
+
||Zeichnen Sie die Parabel <math>\ y=x^2+2x+2</math>.
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If one completes the square for the right-hand side
+
Wenn wir die linke Seite der Gleichung mit quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}
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we see from the resulting expression <math>y= (x+1)^2+1</math> that the parabola has been displaced one unit to the left along the <math>x</math>-direction, compared to <math>y=x^2</math> (as it stands <math>(x+1)^2</math> instead of <math>x^2</math>) and one unit upwards along the <math>y</math>-direction
+
und sehen dass die Parabel <math>y= (x+1)^2+1</math> um eine Einheit nach links, und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math>.
||{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 2x + 2}}
||{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 2x + 2}}
|}
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''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
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Determine where the parabola <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> cuts the <math>x</math>-axis.
+
Bestimmen Sie den Schnittpunkt von der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> und der <math>x</math>-Achse.
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A point is on the <math>x</math>-axis if its <math>y</math>-coordinate is zero, and the points on the parabola which have <math>y=0</math> have an <math>x</math>-coordinate that satisfies the equation
+
Alle Punkte auf der <math>x</math>-Achse haben den <math>y</math>-Koordinaten 0. Die Punkte die auf der Parabel und auch auf der <math>x</math>-Achse liegen, haben also den <math>y</math>-Koordinaten 0, und erfüllen also die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}
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Complete the square for the left-hand side,
+
quadratische Ergänzung gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}
-
and this gives the equation
+
und schließlich
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
-
After taking roots we get solutions
+
Wir erhalten die Wurzeln
-
*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> i.e. <math>\quad x=2+1=3</math>,
+
*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math>, also <math>\quad x=2+1=3</math>,
-
*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> i.e. <math>\quad x=2-1=1</math>.
+
*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math>, also <math>\quad x=2-1=1</math>.
-
The parabola cuts the <math>x</math>-axis in points <math>(1,0)</math> and <math>(3,0)</math>.
+
Die Schnittpunkte von der <math>x</math>-Achse und der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> sind <math>(1,0)</math> und <math>(3,0)</math>.
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 4x + 3}}</center>
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 4x + 3}}</center>
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''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
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Determine the minimum value of the expression <math>\,x^2+8x+19\,</math>.
+
Bestimmen Sie den kleinsten Wert des Ausdruckes <math>\,x^2+8x+19\,</math>.
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We complete the square
+
Wir verwenden quadratische Ergänzung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3</math>}}
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and then we see that the expression must be at least equal to 3 because the square <math>(x+4)^2</math> is always greater than or equal to 0 regardless of what <math>x</math> is.
+
und sehen hier dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate <math>(x+4)^2</math> immer größer oder gleich 0 ist.
-
In the figure below, we see that the whole parabola <math>y=x^2+8x+19</math> lies above the <math>x</math>-axis and has a minimum 3 at <math>x=-4</math>.
+
In der Figur unten sehen wir dass die Parabel <math>y=x^2+8x+19</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse liegt, und den kleinsten Wert 3 hat, wenn <math>x=-4</math>.
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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Nachdem Sie mit der Theorie sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
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'''Bedenke folgendes: '''
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'''Bedenken Sie folgendes: '''
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Devote much time to doing algebra! Algebra is the alphabet of mathematics. Once you understand algebra, your will enhance your understanding of statistics, areas, volumes and geometry.
+
Nehmen Sie sich viel Zeit um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist Das Alphabet der Mathematik, und kommt überall anders in der Mathematik vor.

Version vom 15:21, 14. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Completing the square method
  • Quadratic equations
  • Factorising
  • Parabolas

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Complete the square for expressions of degree two (second degree).
  • Solve quadratic equations by completing the square (not using a standard formula) and know how to check the answer.
  • Factorise expressions of the second degree. (when possible).
  • Directly solve factorised or almost factorised quadratic equations.
  • Determine the minimum / maximum value of an expression of degree two.
  • Sketch parabolas by completing the square method.

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann wie

\displaystyle x^2+px+q=0

geschrieben werden, wo \displaystyle x unbekannt ist, und \displaystyle p und \displaystyle q Konstanten sind.

Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man einfach Wurzeln berechnet.

Die Gleichung \displaystyle x^2=a wo \displaystyle a > 0, hat zwei Lösungen (Wurzeln), nämlich \displaystyle x=\sqrt{a} und \displaystyle x=-\sqrt{a}.

Beispiel 1

  1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
  2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann wie \displaystyle x^2=9 geschrieben werden, und hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
  3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann wie \displaystyle x^2=5 geschrieben werden, und hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
  4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine Wurzeln, nachdem die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 is, weil \displaystyle x^2 immer größer als 0 ist.

Beispiel 2

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.

    Indem wir zuerst \displaystyle x-1 betrachten, sehen wir dass
    • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, und also \displaystyle x=1+4=5,
    • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, und also \displaystyle x=1-4=-3.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.

    Wir addieren \displaystyle 8 zu beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach mit \displaystyle 2,
    \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

    Die Wurzeln sind

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
    • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, muss man quadratische Ergänzung benutzen.

Die binomische Formel lautet

\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2

und subtrahieren wir \displaystyle a^2 von beiden Seiten bekommen wir

Quadratische Ergänzung:

\displaystyle x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2

Beispiel 3

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.

    Wir benutzen quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)
    \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

    wo wir bei den unterstrichenen Termen quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

    \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

    geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
    • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.

    Wir dividieren zuerst beide Seiten mit 2
    \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

    Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

    \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1

    und dies ergibt die Gleichung

    \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

    mit den Wurzeln

    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Hinweis:

Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung substituieren. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zum kontrollieren:

  • \displaystyle x = 2 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.
  • \displaystyle x = -4 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.

In beide Fällen erhalten wir Linke Seite = Rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.

Mit quadratischer Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten

\displaystyle x^2+px+q=0

hat die Lösungen

\displaystyle x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

so lange die Ausdrücke in der Wurzel nicht negativ sind.

In manchen Fällen kann man eine Quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.

Beispiel 4

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2-4x=0.

    Wir können die linke Seite faktorisieren nachdem der Faktor \displaystyle x in allen Termen auftritt
    \displaystyle x(x-4)=0.
    Die Linke Seite der Gleichung ist null nur dann wenn einer ihrer Faktoren null ist.
    • \displaystyle x =0,\quad oder
    • \displaystyle x-4=0\quad. Dies ergibt die Lösungen \displaystyle \quad x=4.


Quadratische Funktionen

Die Funktionen

\displaystyle \eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}

sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist

\displaystyle y=ax^2+bx+c

wo \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind, und \displaystyle a\ne0.

Die Funktionsgraphe einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Figuren zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von \displaystyle y=x^2 und \displaystyle y=-x^2.

[Image]

Die linke Figur zeigt die Parabel \displaystyle y=x^2 und die rechte Figur zeigt die Parabel \displaystyle y=-x^2.


Nachdem der \displaystyle x^2-Term minimal ist wenn \displaystyle x=0, hat die Parabel \displaystyle y=x^2 einen Tiefpunkt in \displaystyle x=0, und die Parabel \displaystyle y=-x^2 hat einen Tiefpunkt in \displaystyle x=0.

Die beiden Parabeln oben sind auch symmetrisch um die \displaystyle y-Achse, nachdem der wert von \displaystyle x^2 derselbe ist, egal ob \displaystyle x positiv oder negativ ist.

Beispiel 5

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=x^2-2.

    Im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2 hat diese Parabel(\displaystyle y=x^2-2) einen \displaystyle y-Wert der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel \displaystyle y=x^2 einfach zwei Einheiten herunter. \displaystyle y-direction.

[Image]

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=(x-2)^2.

    Für die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2 müssen wir den \displaystyle x-Wert um zwei Einheiten weniger wählen, als für die Parabel \displaystyle y=x^2, um denselben \displaystyle y-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2, die Parabel \displaystyle y=x^2 zwei Einheiten nach rechts verschoben.

[Image]

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=2x^2.

    Jeder Punkt auf der Parabel \displaystyle y=2x^2 hat, für denselben \displaystyle x-Wert, einen zwei Mal so großen \displaystyle y-Wert als die Parabel \displaystyle y=x^2. Also müssen wir die Parabel \displaystyle y=x^2 um einen Faktor \displaystyle 2 in der \displaystyle y-Richtung vergrößern, um die Parabel \displaystyle y=2x^2 zu bekommen.

[Image]

Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man sich von quadratischer Ergänzung benutzt.

Beispiel 6

Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=x^2+2x+2.


Wenn wir die linke Seite der Gleichung mit quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir

\displaystyle x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1

und sehen dass die Parabel \displaystyle y= (x+1)^2+1 um eine Einheit nach links, und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2.

[Image]

Beispiel 7

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, und der \displaystyle x-Achse.


Alle Punkte auf der \displaystyle x-Achse haben den \displaystyle y-Koordinaten 0. Die Punkte die auf der Parabel und auch auf der \displaystyle x-Achse liegen, haben also den \displaystyle y-Koordinaten 0, und erfüllen also die Gleichung

\displaystyle x^2-4x+3=0\mbox{.}

quadratische Ergänzung gibt

\displaystyle x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1

und schließlich

\displaystyle (x-2)^2= 1 \; \mbox{.}

Wir erhalten die Wurzeln

  • \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad, also \displaystyle \quad x=2+1=3,
  • \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad, also \displaystyle \quad x=2-1=1.

Die Schnittpunkte von der \displaystyle x-Achse und der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, sind \displaystyle (1,0) und \displaystyle (3,0).

[Image]

Beispiel 8

Bestimmen Sie den kleinsten Wert des Ausdruckes \displaystyle \,x^2+8x+19\,.


Wir verwenden quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3

und sehen hier dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate \displaystyle (x+4)^2 immer größer oder gleich 0 ist.

In der Figur unten sehen wir dass die Parabel \displaystyle y=x^2+8x+19 oberhalb der \displaystyle x-Achse liegt, und den kleinsten Wert 3 hat, wenn \displaystyle x=-4.

[Image]


Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Nehmen Sie sich viel Zeit um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist Das Alphabet der Mathematik, und kommt überall anders in der Mathematik vor.


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about quadratic equations in the English Wikipedia

Learn more about quadratic equations in mathworld

101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin


Nützliche Websites

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.3_Quadratische_Gleichungen“