2.3 Quadratische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> und also <math>x=1-4=-3</math>. </li>
*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> und also <math>x=1-4=-3</math>. </li>
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
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Move the term <math>8</math> over to the right-hand side and divide both sides by <math>2</math>,
+
Wir addieren <math>8</math> zu beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach mit <math>2</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
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Taking the roots gives:
+
Die Wurzeln sind
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*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>
+
*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>
-
*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>
+
*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>
</ol>
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To solve a quadratic equation generally, we use a technique called completing the square.
+
Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, muss man quadratische Ergänzung benutzen.
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If we consider the rule for expanding a quadratic,
+
Die binomische Formel lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2</math>}}
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and subtract the <math>a^2</math> from both sides we get
+
und subtrahieren wir <math>a^2</math> von beiden Seiten bekommen wir
<div class="regel">
<div class="regel">
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'''Completing the square:'''
+
'''Quadratische Ergänzung:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Solve the equation <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
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One completes the square for <math>x^2+2x</math> (use <math>a=1</math> in the formula)
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Wir benutzen quadratische Ergänzung: <math>x^2+2x</math> (hier ist also <math>a=1</math>)
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
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where the underlined terms are those involved in the completion of the square. Thus the equation can be written as
+
wo wir bei den unterstrichenen Termen quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
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which we solve by taking roots
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geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln
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*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math> and hence <math>x=-1+3=2</math>,
+
*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math>, also <math>x=-1+3=2</math>,
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*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math> and hence <math>x=-1-3=-4</math>.</li>
+
*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math>, also <math>x=-1-3=-4</math>.</li>
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<li> Solve the equation <math>\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0</math>. <br><br>
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0</math>. <br><br>
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Divide both sides by 2
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Wir dividieren zuerst beide Seiten mit 2
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}</math>}}
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Complete the square of the left-hand side (use <math>a=-\tfrac{1}{2}</math>)
+
Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit <math>a=-\tfrac{1}{2}</math>)
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1</math>}}
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and this gives us the equation
+
und dies ergibt die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}
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Taking roots gives
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mit den Wurzeln
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*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math> i.e. <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,
+
*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math>, also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,
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*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math> i.e. <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>
+
*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math>, also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="tips">
<div class="tips">
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'''Hint: '''
+
'''Hinweis: '''
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Keep in mind that we can always test our solution to an equation by inserting the value in the equation and see if the equation is satisfied. We should always do this to check for any careless mistakes. For example, in 3a above, we have two cases to consider. We call the left- and right-hand sides LHS and RHS respectively:
+
Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung substituieren. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zum kontrollieren:
-
* <math>x = 2</math> gives that <math>\mbox{LHS } = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{RHS}</math>.
+
* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
-
* <math>x = -4</math> gives that <math>\mbox{LHS } = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{RHS}</math>.
+
* <math>x = -4</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
-
In both cases we arrive at LHS = RHS. The equation is satisfied in both cases.
+
In beide Fällen erhalten wir Linke Seite = Rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.
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Version vom 13:20, 14. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Completing the square method
  • Quadratic equations
  • Factorising
  • Parabolas

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Complete the square for expressions of degree two (second degree).
  • Solve quadratic equations by completing the square (not using a standard formula) and know how to check the answer.
  • Factorise expressions of the second degree. (when possible).
  • Directly solve factorised or almost factorised quadratic equations.
  • Determine the minimum / maximum value of an expression of degree two.
  • Sketch parabolas by completing the square method.

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann wie

\displaystyle x^2+px+q=0

geschrieben werden, wo \displaystyle x unbekannt ist, und \displaystyle p und \displaystyle q Konstanten sind.

Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man einfach Wurzeln berechnet.

Die Gleichung \displaystyle x^2=a wo \displaystyle a > 0, hat zwei Lösungen (Wurzeln), nämlich \displaystyle x=\sqrt{a} und \displaystyle x=-\sqrt{a}.

Beispiel 1

  1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
  2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann wie \displaystyle x^2=9 geschrieben werden, und hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
  3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann wie \displaystyle x^2=5 geschrieben werden, und hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
  4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine Wurzeln, nachdem die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 is, weil \displaystyle x^2 immer größer als 0 ist.

Beispiel 2

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.

    Indem wir zuerst \displaystyle x-1 betrachten, sehen wir dass
    • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, und also \displaystyle x=1+4=5,
    • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, und also \displaystyle x=1-4=-3.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.

    Wir addieren \displaystyle 8 zu beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach mit \displaystyle 2,
    \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

    Die Wurzeln sind

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
    • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, muss man quadratische Ergänzung benutzen.

Die binomische Formel lautet

\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2

und subtrahieren wir \displaystyle a^2 von beiden Seiten bekommen wir

Quadratische Ergänzung:

\displaystyle x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2

Beispiel 3

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.

    Wir benutzen quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)
    \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

    wo wir bei den unterstrichenen Termen quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

    \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

    geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
    • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.

    Wir dividieren zuerst beide Seiten mit 2
    \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

    Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

    \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1

    und dies ergibt die Gleichung

    \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

    mit den Wurzeln

    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Hinweis:

Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung substituieren. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zum kontrollieren:

  • \displaystyle x = 2 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.
  • \displaystyle x = -4 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.

In beide Fällen erhalten wir Linke Seite = Rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.

Using the completing the square method it is possible to show that the general quadratic equation

\displaystyle x^2+px+q=0

has the solutions

\displaystyle x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

provided that the term inside the root sign is not negative.

Sometimes one can factorise the equations directly and thus immediately see what the solutions are.

Beispiel 4

  1. Solve the equation \displaystyle \ x^2-4x=0.

    On the left-hand side, we can factor out an \displaystyle x
    \displaystyle x(x-4)=0.
    The equation on the left-hand side is zero when one of its factors is zero, which gives us two solutions
    • \displaystyle x =0,\quad or
    • \displaystyle x-4=0\quad which gives \displaystyle \quad x=4.


Parabolas

Functions

\displaystyle \eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}

are examples of functions of the second degree. In general, a function of the second degree can be written as

\displaystyle y=ax^2+bx+c

where \displaystyle a, \displaystyle b and \displaystyle c are constants, and where \displaystyle a\ne0.

The graph for a function of the second degree is known as a parabola and the figures show the graphs of two typical parabolas \displaystyle y=x^2 and \displaystyle y=-x^2.

[Image]

The figure on the left shows the parabola \displaystyle y=x^2 and figure to the right the parabola \displaystyle y=-x^2.


As the expression \displaystyle x^2 is minimal when \displaystyle x=0 the parabola \displaystyle y=x^2 has a minimum when \displaystyle x=0 and the parabola \displaystyle y=-x^2 has a maximum when \displaystyle x=0.

Note also that parabolas above are symmetrical about the \displaystyle y-axis, as the value of \displaystyle x^2 does not depend on the sign of \displaystyle x.

Beispiel 5

  1. Sketch the parabola \displaystyle \ y=x^2-2.

    Compared to the parabola \displaystyle y=x^2 all points on the parabola (\displaystyle y=x^2-2) have \displaystyle y-values that are two units smaller, so the parabola has been displaced downwards two units along the \displaystyle y-direction.

[Image]

  1. Sketch the parabola \displaystyle \ y=(x-2)^2.

    For the parabola \displaystyle y=(x-2)^2 we need to choose \displaystyle x-values two units larger than for the parabola \displaystyle y=x^2 to get the corresponding \displaystyle y values. So the parabola \displaystyle y=(x-2)^2 has been displaced two units to the right, compared to \displaystyle y=x^2.

[Image]

  1. Sketch the parabola \displaystyle \ y=2x^2.

    Each point on the parabola \displaystyle y=2x^2 has twice as large a \displaystyle y-value as the corresponding point with the same \displaystyle x-value on parabola \displaystyle y=x^2. Thus parabola \displaystyle y=2x^2 has been increased by a factor \displaystyle 2 in the \displaystyle y-direction as compared to \displaystyle y=x^2.

[Image]

All sorts of parabolas can be handled by the completing the square method.

Beispiel 6

Sketch the parabola \displaystyle \ y=x^2+2x+2.


If one completes the square for the right-hand side

\displaystyle x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1

we see from the resulting expression \displaystyle y= (x+1)^2+1 that the parabola has been displaced one unit to the left along the \displaystyle x-direction, compared to \displaystyle y=x^2 (as it stands \displaystyle (x+1)^2 instead of \displaystyle x^2) and one unit upwards along the \displaystyle y-direction

[Image]

Beispiel 7

Determine where the parabola \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, cuts the \displaystyle x-axis.


A point is on the \displaystyle x-axis if its \displaystyle y-coordinate is zero, and the points on the parabola which have \displaystyle y=0 have an \displaystyle x-coordinate that satisfies the equation

\displaystyle x^2-4x+3=0\mbox{.}

Complete the square for the left-hand side,

\displaystyle x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1

and this gives the equation

\displaystyle (x-2)^2= 1 \; \mbox{.}

After taking roots we get solutions

  • \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad i.e. \displaystyle \quad x=2+1=3,
  • \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad i.e. \displaystyle \quad x=2-1=1.

The parabola cuts the \displaystyle x-axis in points \displaystyle (1,0) and \displaystyle (3,0).

[Image]

Beispiel 8

Determine the minimum value of the expression \displaystyle \,x^2+8x+19\,.


We complete the square

\displaystyle x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3

and then we see that the expression must be at least equal to 3 because the square \displaystyle (x+4)^2 is always greater than or equal to 0 regardless of what \displaystyle x is.

In the figure below, we see that the whole parabola \displaystyle y=x^2+8x+19 lies above the \displaystyle x-axis and has a minimum 3 at \displaystyle x=-4.

[Image]


Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Devote much time to doing algebra! Algebra is the alphabet of mathematics. Once you understand algebra, your will enhance your understanding of statistics, areas, volumes and geometry.


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about quadratic equations in the English Wikipedia

Learn more about quadratic equations in mathworld

101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin


Nützliche Websites

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.3_Quadratische_Gleichungen“