Lösung 2.2:9c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren | <li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren | ||
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Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung | Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung | ||
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berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist. | berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist. | ||
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| - | + | Schließlich addieren wir die Flächen des beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten: | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}} | ||
Version vom 17:01, 13. Mär. 2009
Wir zeichnen zuerst die Gebiete die durch die drei Ungleichungen entstehen.
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| The region x + y ≥ -2 | The region 2x - y ≤ 2 |
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| The region 2y - x ≤ 2 |
Das Dreieck ist das Gebiet dass wo die Punkte alle dre Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet das alle grau gefärbten Gebiete enthält.
Als erster Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die also auch die Ecken des Dreiecks sind.
Die drei Ecken müssen jeweils die Drei Gleichungssysteme unten erfüllen
| \displaystyle (1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{and}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right. |
- Das erste Gleichungssystem lösen wir indem wir die beiden Gleichungen addieren
So erhalten wir also \displaystyle x=0, und von der Gleichung \displaystyle x+y=-2 erhalten wir \displaystyle y=-2.\displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2 \displaystyle +\ \ \displaystyle 2x \displaystyle {}-{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
\displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0 - Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
Wir erhalten also \displaystyle y=0 und \displaystyle x=-2.\displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2 \displaystyle +\ \ \displaystyle -x \displaystyle {}+{} \displaystyle 2y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
\displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0 - Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir y in der zweiten Gleichung mit \displaystyle 2x-2 ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach x in die erste Gleichung einsetzen.
Und also ist \displaystyle y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}\displaystyle -x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}
Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).
Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung
| \displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(base)}\cdot\text{(height)} |
berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der x- oder y-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der y-Achse ist.
Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade \displaystyle 2y-x=\text{2 } und der y-Achse ist
| \displaystyle \left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right. |
Die Schnittstelle, und der Punkt A, ist also (0,1).
Jetzt können wir einfach die Flächen des beiden Dreiecken berechnen
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| base | = | 1 - (-2) = 3 | base | = | 1 - (-2) = 3 | |
| height | = | 0 - (-2) = 2 | height | = | 2 - 0 = 2 | |
| area | = | ½·3·2 = 3 | area | = | ½·3·2 = 3 | |
Schließlich addieren wir die Flächen des beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:
| \displaystyle \text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.} |
