2.2 Lineare Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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*Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen Lineare Gleichungen ergeben, lösen.
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*Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
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*Gleichungen zwischen den Formen ''y'' = ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0. zu transformieren.
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*Gleichungen zwischen den Formen ''y'' = ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0. umzuwandeln.
*Geraden die durch eine lineare Gleichung definiert sind zeichnen.
*Geraden die durch eine lineare Gleichung definiert sind zeichnen.
* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
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* Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dessen Gebieten berechnen.
+
* Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dieser Gebieten berechnen.
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== Lineare Gleichungen ==
== Lineare Gleichungen ==
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Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch Arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
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Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
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Zuerst subtrahieren wirt <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht
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Zuerst subtrahieren wir <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
Jetzt dividieren wir beide Seiten mit <math>2</math>, und bekommen die Lösung:
Jetzt dividieren wir beide Seiten mit <math>2</math>, und bekommen die Lösung:
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Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform <math>ax=b</math> geschrieben werden. Die Lösung bekommen wir einfach durch division mit ''a'', <math>x=b/a</math> (nur wenn <math>a\not=0</math>).
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Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform <math>ax=b</math> gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach durch Division mit ''a'', <math>x=b/a</math> (nur wenn <math>a\not=0</math>).
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Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen die notwendig sind um die Gleichung auf die Standardform zu schreiben. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen die alle auf Standardform geschrieben werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.
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Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen die notwendig sind um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.
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'''Beispiel 2'''
'''Beispiel 2'''
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{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
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Jetzt sind alle Terme die <math>x</math> enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> faktorisieren
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Jetzt sind alle Terme die <math>x</math> enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> herausheben
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
Wenn wir beide Seiten mit <math>a-3</math> dividieren erhalten wir die Lösung
Wenn wir beide Seiten mit <math>a-3</math> dividieren erhalten wir die Lösung
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Es ist nicht immer offenbar ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir das Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.
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Man sieht nicht immer deutlich ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}}
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Diese Gleichung ist nur gültig wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist);
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Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).
{{Abgesetzte Formel||<math>5x+4=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>5x+4=0</math>}}
und wir haben <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>.
und wir haben <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>.
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schreiben kann, wo <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
schreiben kann, wo <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
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Die Funktionsgraphe einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Der Konstant <math>k</math> bestimmt wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achsel ist, und der Konstant <math>m</math> ist der Schnittpunkt von der Gerade und der <math>y</math>-Achse.
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Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante <math>k</math> bestimmt wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achsel ist, und die Konstante <math>m</math> ist der Schnittpunkt von der Gerade und der <math>y</math>-Achse.
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center>
<center><small>Die Gerade ''y'' = ''kx'' + ''m'' hat die Steigung ''k'' und kreuzt die ''y''-Achse im Punkt (0,''m'')</small></center>
<center><small>Die Gerade ''y'' = ''kx'' + ''m'' hat die Steigung ''k'' und kreuzt die ''y''-Achse im Punkt (0,''m'')</small></center>
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Der Konstant <math>k</math> wird die Steigung genannt, und bedeutet dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven <math>x</math>-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um <math>k</math> Einheiten in der positiven <math>y</math>-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:
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Die Konstante <math>k</math> wird die Steigung genannt, und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven <math>x</math>-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um <math>k</math> Einheiten in der positiven <math>y</math>-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:
*Aufwärts wenn <math>k>0</math>.
*Aufwärts wenn <math>k>0</math>.
*Abwärts wenn <math>k<0</math>.
*Abwärts wenn <math>k<0</math>.
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<ol type="a">
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<li> Zeichen Sie die Gerade <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
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<li> Zeichnen Sie die Gerade <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
Wenn wir die Gleichung mit der Standardform <math>y=kx+m</math> vergleichen, sehen wir dass <math>k=2</math> und <math>m=-1</math>. Dies bedeutet dass die Gerade die Steigung <math>2</math> hat, und die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0,-1)</math> kreuzt. Sehen Sie die linke Figur.</li>
Wenn wir die Gleichung mit der Standardform <math>y=kx+m</math> vergleichen, sehen wir dass <math>k=2</math> und <math>m=-1</math>. Dies bedeutet dass die Gerade die Steigung <math>2</math> hat, und die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0,-1)</math> kreuzt. Sehen Sie die linke Figur.</li>
<li>Zeichnen Sie die Gerade <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
<li>Zeichnen Sie die Gerade <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
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Die Gleichung kann wie <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> geschrieben werden, und wir sehen dass die Steigung <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> ist, und dass <math>m=2</math>. Sehen Sie die rechte Figur.
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Die Gleichung kann wie <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> geschrieben werden, und wir sehen dass die Steigung <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> ist, und dass <math>m=2</math>. Siehe rechte Figur.
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Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen dass für zwei Geraden die rechtwinklig sind und die Steigungen <math>k_1</math> und <math>k_2</math> haben, dass <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, oder anders geschrieben <math>k_1 k_2 = -1</math>.
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Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden die rechtwinkelig sind und die Steigungen <math>k_1</math> und <math>k_2</math> haben, dass <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, oder anders geschrieben <math>k_1 k_2 = -1</math>.
<center>{{:2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden}}</center>
-
Die Gerade in der linken Figur hat die Steigung <math>k</math>, und also entspricht <math>1</math> Einheit in die <math>x</math>-Richtung, <math>k</math> Einheiten in die <math>y</math>-Richtung. Falls die Gerade <math>90^\circ</math> im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Figur rechts. Wir sehen dass die Steigung jetzt <math>-\frac{1}{k}</math> ist, nachdem <math>-k</math> Einheiten in die <math>x</math>-Richtung <math>1</math> Einheit in die <math>y</math>-Richtung entsprechen.
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Die Gerade in der linken Figur hat die Steigung <math>k</math>, also entspricht <math>1</math> Einheit in die <math>x</math>-Richtung, <math>k</math> Einheiten in die <math>y</math>-Richtung. Falls die Gerade <math>90^\circ</math> im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Figur rechts. Wir sehen dass die Steigung jetzt <math>-\frac{1}{k}</math> ist, nachdem <math>-k</math> Einheiten in die <math>x</math>-Richtung <math>1</math> Einheit in die <math>y</math>-Richtung entsprechen.
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<ol type="a">
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<li> Die Geraden <math>y=3x-1</math> und <math>y=3x+5</math> sind parallel.
<li> Die Geraden <math>y=3x-1</math> und <math>y=3x+5</math> sind parallel.
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<li> Die Geraden <math>y=x+1</math> und <math>y=2-x</math> sind rechtwinklig.
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<li> Die Geraden <math>y=x+1</math> und <math>y=2-x</math> sind rechtwinkelig.
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Alle Geraden, (auch die vertikalen), können generell wie
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Alle Geraden, (auch die vertikalen) können generell wie
<div class="regel">
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{{Abgesetzte Formel||<math>ax+by=c</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+by=c</math>}}
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-
geschrieben werden, wo <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstante sind.
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geschrieben werden, wo <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind.
<div class="exempel">
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<ol type="a">
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<li>Schreiben Sie die Gerade <math>y=5x+7</math> auf der Form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
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<li>Bringen Sie die Gerade <math>y=5x+7</math> in die Form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten:<math>-5x+y=7</math>.</li>
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten:<math>-5x+y=7</math>.</li>
<li> Schreiben Sie die Gerade <math>2x+3y=-1</math> auf der Form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
<li> Schreiben Sie die Gerade <math>2x+3y=-1</math> auf der Form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
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<li><math>3y=-2x-1 </math></li>
<li><math>3y=-2x-1 </math></li>
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und dividieren beide Seiten mit <math>3</math>
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und dividieren beide Seiten durch <math>3</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
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== Gebieten in einen Koordinatensystem ==
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== Flächen in einem Koordinatensystem ==
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Man kann durch geometrische Interpretierung von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.
+
Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.
<div class="exempel">
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Zeile 244: Zeile 244:
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2}}</center></li>
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2}}</center></li>
<li>Zeichnen Sie dass Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem dass die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt. <br/><br/>
<li>Zeichnen Sie dass Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem dass die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt. <br/><br/>
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Ein Punkt <math>(x,y)</math> der die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt, muss eine <math>x</math>-Koordinate haben die größer als die <math>y</math>-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden <math>y=x</math>.<br/>
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Ein Punkt <math>(x,y)</math>, der die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt, muss eine <math>x</math>-Koordinate haben die größer als die <math>y</math>-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden <math>y=x</math>.<br/>
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y weniger als x}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y weniger als x}}</center>
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> and <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> and <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
-
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiten Seiten, und dividieren beide Seiden danach mit <math>2</math>
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiten Seiten, und dividieren danach beide Seiden durch <math>2</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> and <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> and <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
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Die Punkte die die erste Ungleichung erfüllen liegen auf oder oberhalb der Geraden <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math>, während dir Punkte die, die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden <math>y= 2-\tfrac{3}{2}x</math> liegen.
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Die Punkte die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math>, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden <math>y= 2-\tfrac{3}{2}x</math> liegen.
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gebiete 3x + 2y ≥ 2 und 3x + 2y ≤ 4}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gebiete 3x + 2y ≥ 2 und 3x + 2y ≤ 4}}</center>
<center><small>Das linke Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\ge 2</math> und das rechte Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center>
<center><small>Das linke Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\ge 2</math> und das rechte Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center>
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Die punkte die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.
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Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center>
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center>
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We find that for a point to lie in this triangle, it has to satisfy certain conditions.
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Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:
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Wir sehen dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss um im Dreieck zu liegen:
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Die <math>y</math>-Koordinate muss geringer als <math>2</math> sein. Die <math>y</math>-Koordinate muss aber auch größer als <math>0</math> sein. Also muss gelten, dass <math> 0\le y\le2</math>.
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Die <math>y</math>-Koordinate muss geringer als <math>2</math> sein. Die <math>y</math>-Koordinate muss aber auch größer als <math>0</math> sein. Also muss es gelten dass <math> 0\le y\le2</math>.
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Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=-x</math> und <math>y=x</math> liegen müssen. Dies entspricht dass <math>-y\le x\le y</math>. Nachdem wir Begrenzungen für die <math>y</math>-Koordinate haben, wissen wir auch dass <math>x</math> kleiner als <math>2</math> sein muss und größer als <math>-2</math>.
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Wir sehen auch dass alle Punkte oberhalb den Geraden <math>y=-x</math> und <math>y=x</math> liegen müssen. Dies entspricht dass <math>-y\le x\le y</math>. Nachdem wir Begrenzungen für die <math>y</math>-Koordinate haben, wissen wir auch dass <math>x</math> geringer als <math>2</math> sein muss, und größer als <math>-2</math>.
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Die Basis des Dreiecks ist <math>4</math>, und die Höhe ist <math>2</math>.
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Die Basis des Dreiecks ist <math>4</math> und die Höhe ist <math>2</math>.
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Fie Fläche des Dreiecks ist daher <math> 4\cdot 2/2=4</math>.
Fie Fläche des Dreiecks ist daher <math> 4\cdot 2/2=4</math>.
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Tipps fürs lernen'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Sie fertig mit der Theorie bist, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
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Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
'''Bedenken Sie folgendes ... '''
'''Bedenken Sie folgendes ... '''
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Zeichnen Sie immer ihre eigene Figuren wenn Sie geometrische Probleme lösen, und zeichnen Sie genau. Mit einer guten Figur sind Sie fast fertig, während eine schlechte Figur irreführend sein kann.
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Zeichnen Sie immer ihre eigenen Figuren wenn Sie geometrische Probleme lösen, und zeichnen Sie genau. Mit einer guten Figur sind Sie fast fertig, während eine schlechte Figur irreführend sein kann.

Version vom 15:14, 26. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Lineare Gleichungen
  • Gleichung einer Linie
  • Geometrische Probleme
  • Gebiete definiert durch lineare Gleichungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
  • Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. umzuwandeln.
  • Geraden die durch eine lineare Gleichung definiert sind zeichnen.
  • Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
  • Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dieser Gebieten berechnen.

Lineare Gleichungen

Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.

Beispiel 1

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle x+3=7.

    Wir subtrahieren \displaystyle 3 von beiden Seiten
    \displaystyle x+3-3=7-3.
    Die linke Seite ist danach \displaystyle x, und also ist unsere Gleichung gelöst:
    \displaystyle x=7-3=4.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3x=6.

    Wier dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3
    \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
    Nachdem wir \displaystyle 3 auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
    \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
  3. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}

    Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 1 von beiden Seiten, sodass \displaystyle 2x alleine links steht
    \displaystyle 2x=5-1.
    Jetzt dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 2, und bekommen die Lösung:
    \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.

Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform \displaystyle ax=b gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach durch Division mit a, \displaystyle x=b/a (nur wenn \displaystyle a\not=0).

Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen die notwendig sind um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,2x-3=5x+7.


Nachdem \displaystyle x links und rechts erscheint, subtrahieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 2x

\displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x

und jetzt kommt \displaystyle x nur in der rechten Seite vor

\displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.}

Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle -3 -7 = 3x +7-7

und erhalten \displaystyle 3x alleine auf der rechten Seite der Gleichung

\displaystyle -10=3x\,\mbox{.}

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 3

\displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}

und erhalten die Lösung

\displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}

Beispiel 3

Lösen Sie (für \displaystyle x) die Gleichung \displaystyle ax+7=3x-b.


Indem wir \displaystyle 3x von beiden Seiten subtrahieren

\displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x
\displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}

und danach \displaystyle 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

\displaystyle ax+7-3x -7=-b-7
\displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7

Jetzt sind alle Terme die \displaystyle x enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor \displaystyle x herausheben

\displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.}

Wenn wir beide Seiten mit \displaystyle a-3 dividieren erhalten wir die Lösung

\displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}

Man sieht nicht immer deutlich ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.

Beispiel 4

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.

Wir erweitern die quadratische Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.

\displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}
\displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}

Hier subtrahieren wir \displaystyle 4x^2 von beiden Seiten

\displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}

und addieren \displaystyle 6x zu beiden Seiten

\displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.}

und subtrahieren \displaystyle 49 von beiden Seiten

\displaystyle -40=34x\; \mbox{.}

und schließlich dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 34

\displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}

Beispiel 5

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.


Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}

und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0

und vereinfachen den Zähler

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).

\displaystyle 5x+4=0

und wir haben \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.


Gerade Linien

Gleichungen wie

\displaystyle y = 2x+1
\displaystyle y = -x+3
\displaystyle y = \frac{1}{2} x -5

sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie

\displaystyle y = kx+m

schreiben kann, wo \displaystyle k und \displaystyle m Konstanten sind.

Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante \displaystyle k bestimmt wie steil die Gerade im Verhältnis zur \displaystyle x-Achsel ist, und die Konstante \displaystyle m ist der Schnittpunkt von der Gerade und der \displaystyle y-Achse.

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Die Gerade y = kx + m hat die Steigung k und kreuzt die y-Achse im Punkt (0,m)

Die Konstante \displaystyle k wird die Steigung genannt, und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven \displaystyle x-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um \displaystyle k Einheiten in der positiven \displaystyle y-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:

  • Aufwärts wenn \displaystyle k>0.
  • Abwärts wenn \displaystyle k<0.

Eine horizontale Gerade, die parallel mit der \displaystyle x-Achse ist, hat \displaystyle k=0 während eine vertikale Gerade, parallel mit der \displaystyle y-Achse kein \displaystyle k hat (Eine vertikale Linie kann nicht wie \displaystyle y=kx+m geschrieben werden).

Beispiel 6

  1. Zeichnen Sie die Gerade \displaystyle y=2x-1.

    Wenn wir die Gleichung mit der Standardform \displaystyle y=kx+m vergleichen, sehen wir dass \displaystyle k=2 und \displaystyle m=-1. Dies bedeutet dass die Gerade die Steigung \displaystyle 2 hat, und die \displaystyle y-Achse im Punkt \displaystyle (0,-1) kreuzt. Sehen Sie die linke Figur.
  2. Zeichnen Sie die Gerade \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 geschrieben werden, und wir sehen dass die Steigung \displaystyle k= -\tfrac{1}{2} ist, und dass \displaystyle m=2. Siehe rechte Figur.

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Line y = 2x - 1 Line y = 2 - x/2

Beispiel 7

Was ist die Steigung der Geraden die durch die Punkte \displaystyle (2,1) und \displaystyle (5,3) geht?

Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir dass \displaystyle 5-2=3 Einheiten entlang der Geraden in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle 3-1=2 Einheiten in der \displaystyle y-Richtung entsprechen. Also entspricht \displaystyle 1 Schritt in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} Schritte in der \displaystyle y-Richtung. Also ist die Steigung \displaystyle k= \frac{2}{3}.

Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden die rechtwinkelig sind und die Steigungen \displaystyle k_1 und \displaystyle k_2 haben, dass \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, oder anders geschrieben \displaystyle k_1 k_2 = -1.

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Die Gerade in der linken Figur hat die Steigung \displaystyle k, also entspricht \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle x-Richtung, \displaystyle k Einheiten in die \displaystyle y-Richtung. Falls die Gerade \displaystyle 90^\circ im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Figur rechts. Wir sehen dass die Steigung jetzt \displaystyle -\frac{1}{k} ist, nachdem \displaystyle -k Einheiten in die \displaystyle x-Richtung \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle y-Richtung entsprechen.

Beispiel 8

  1. Die Geraden \displaystyle y=3x-1 und \displaystyle y=3x+5 sind parallel.
  2. Die Geraden \displaystyle y=x+1 und \displaystyle y=2-x sind rechtwinkelig.

Alle Geraden, (auch die vertikalen) können generell wie

\displaystyle ax+by=c

geschrieben werden, wo \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind.

Beispiel 9

  1. Bringen Sie die Gerade \displaystyle y=5x+7 in die Form \displaystyle ax+by=c.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten:\displaystyle -5x+y=7.
  2. Schreiben Sie die Gerade \displaystyle 2x+3y=-1 auf der Form \displaystyle y=kx+m.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten
  3. \displaystyle 3y=-2x-1

    4. und dividieren beide Seiten durch \displaystyle 3

    \displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}

Here you can see how an equation for a line can be obtained if we know the coordinates of two points on the line.

Here you can vary k and m and see how this affects the line's characteristics.


Flächen in einem Koordinatensystem

Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.

Beispiel 10

  1. Zeichnen Sie das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem dass die Ungleichung \displaystyle y\ge2 erfüllt.

    Das Gebiet besteht aus allen Punkten, \displaystyle (x,y), wo die \displaystyle y-Koordinate größer oder gleich \displaystyle 2 ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=2.

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  2. Zeichnen Sie dass Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem dass die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt.

    Ein Punkt \displaystyle (x,y), der die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt, muss eine \displaystyle x-Koordinate haben die größer als die \displaystyle y-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden \displaystyle y=x.

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    Dass die Gerade \displaystyle y=x gepunktet ist, heißt dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.

Beispiel 11

Zeichnen Sie dass Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem dass die Ungleichung \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4 erfüllt.

Die Doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden

\displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad and \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}

Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiten Seiten, und dividieren danach beide Seiden durch \displaystyle 2

\displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad and \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}

Die Punkte die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden \displaystyle y = 1-\tfrac{3}{2}x, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden \displaystyle y= 2-\tfrac{3}{2}x liegen.

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Das linke Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\ge 2 und das rechte Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\le 4.

Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.

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Das Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 2\le 3x+2y\le 4.

Beispiel 12

Die Geraden \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x und \displaystyle y=2 Begrenzen ein Dreieck.

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Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:

Die \displaystyle y-Koordinate muss geringer als \displaystyle 2 sein. Die \displaystyle y-Koordinate muss aber auch größer als \displaystyle 0 sein. Also muss gelten, dass \displaystyle 0\le y\le2.

Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=-x und \displaystyle y=x liegen müssen. Dies entspricht dass \displaystyle -y\le x\le y. Nachdem wir Begrenzungen für die \displaystyle y-Koordinate haben, wissen wir auch dass \displaystyle x kleiner als \displaystyle 2 sein muss und größer als \displaystyle -2.

Die Basis des Dreiecks ist \displaystyle 4, und die Höhe ist \displaystyle 2.

Fie Fläche des Dreiecks ist daher \displaystyle 4\cdot 2/2=4.


Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes ...

Zeichnen Sie immer ihre eigenen Figuren wenn Sie geometrische Probleme lösen, und zeichnen Sie genau. Mit einer guten Figur sind Sie fast fertig, während eine schlechte Figur irreführend sein kann.


Nützliche Websites

Experiment with Equations of a Straight Line

Experiment with Archimedes Triangle & Squaring of Parabola.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.2_Lineare_Gleichungen“