Lösung 2.2:2b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Version vom 14:53, 12. Mär. 2009
Zuerst multiplizieren wir beide seiten der Gleichung mit \displaystyle 4\cdot 7=28, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
| \displaystyle \begin{align}
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] &\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.} \end{align} |
Jetzt vereinfachen wir die linke Seite; \displaystyle 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,, und wir haben
| \displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.} |
Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren, und danach beide seiten durch 3 dividieren
| \displaystyle \begin{align}
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] -3x&=-5\,,\\[5pt] \frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} \end{align} |
Die lösung ist \displaystyle x={5}/{3}\,.
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle {5}/{3} in der ursprünglichen Gleichung substituieren
| \displaystyle \begin{align}
\text{LHS} &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4} = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt] &= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3} = \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt] &= \frac{49}{21}-\frac{4}{12} = \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3} = \frac{7}{3}-\frac{1}{3} = \frac{7-1}{3} = \frac{6}{3} = 2 = \text{RHS.} \end{align} |
