2.2 Lineare Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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schreiben kann, wo <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
schreiben kann, wo <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
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Die Funktionsgraphe einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Der Konstant <math>k</math> bestimmt wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achsel ist, und der Konstant <math>m</math> ist der punkt wo die Gerade die <math>y</math>-Achse kreuzt.
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Die Funktionsgraphe einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Der Konstant <math>k</math> bestimmt wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achsel ist, und der Konstant <math>m</math> ist der Schnittpunkt von der Gerade und der <math>y</math>-Achse.
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center>
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Version vom 11:26, 13. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Lineare Gleichungen
  • Gleichung einer Linie
  • Geometrische Probleme
  • Gebiete definiert durch lineare Gleichungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen Lineare Gleichungen ergeben, lösen.
  • Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. zu transformieren.
  • Geraden die durch eine lineare Gleichung definiert sind zeichnen.
  • Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
  • Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dessen Gebieten berechnen.

Lineare Gleichungen

Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch Arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.

Beispiel 1

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle x+3=7.

    Wir subtrahieren \displaystyle 3 von beiden Seiten
    \displaystyle x+3-3=7-3.
    Die linke Seite ist danach \displaystyle x, und also ist unsere Gleichung gelöst:
    \displaystyle x=7-3=4.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3x=6.

    Wier dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3
    \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
    Nachdem wir \displaystyle 3 auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
    \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
  3. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}

    Zuerst subtrahieren wirt \displaystyle 1 von beiden Seiten, sodass \displaystyle 2x alleine links steht
    \displaystyle 2x=5-1.
    Jetzt dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 2, und bekommen die Lösung:
    \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.

Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform \displaystyle ax=b geschrieben werden. Die Lösung bekommen wir einfach durch division mit a, \displaystyle x=b/a (nur wenn \displaystyle a\not=0).

Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen die notwendig sind um die Gleichung auf die Standardform zu schreiben. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen die alle auf Standardform geschrieben werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,2x-3=5x+7.


Nachdem \displaystyle x links und rechts erscheint, subtrahieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 2x

\displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x

und jetzt kommt \displaystyle x nur in der rechten Seite vor

\displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.}

Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle -3 -7 = 3x +7-7

und erhalten \displaystyle 3x alleine auf der rechten Seite der Gleichung

\displaystyle -10=3x\,\mbox{.}

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 3

\displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}

und erhalten die Lösung

\displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}

Beispiel 3

Lösen Sie (für \displaystyle x) die Gleichung \displaystyle ax+7=3x-b.


Indem wir \displaystyle 3x von beiden Seiten subtrahieren

\displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x
\displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}

und danach \displaystyle 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

\displaystyle ax+7-3x -7=-b-7
\displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7

Jetzt sind alle Terme die \displaystyle x enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor \displaystyle x faktorisieren

\displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.}

Wenn wir beide Seiten mit \displaystyle a-3 dividieren erhalten wir die Lösung

\displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}

Es ist nicht immer offenbar ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir das Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.

Beispiel 4

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.

Wir erweitern die quadratische Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.

\displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}
\displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}

Hier subtrahieren wir \displaystyle 4x^2 von beiden Seiten

\displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}

und addieren \displaystyle 6x zu beiden Seiten

\displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.}

und subtrahieren \displaystyle 49 von beiden Seiten

\displaystyle -40=34x\; \mbox{.}

und schließlich dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 34

\displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}

Beispiel 5

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.


Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}

und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0

und vereinfachen den Zähler

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur gültig wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist);

\displaystyle 5x+4=0

und wir haben \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.


Gerade Linien

Gleichungen wie

\displaystyle y = 2x+1
\displaystyle y = -x+3
\displaystyle y = \frac{1}{2} x -5

sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie

\displaystyle y = kx+m

schreiben kann, wo \displaystyle k und \displaystyle m Konstanten sind.

Die Funktionsgraphe einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Der Konstant \displaystyle k bestimmt wie steil die Gerade im Verhältnis zur \displaystyle x-Achsel ist, und der Konstant \displaystyle m ist der Schnittpunkt von der Gerade und der \displaystyle y-Achse.

[Image]

Die Gerade y = kx + m hat die Steigung k und kreuzt die y-Achse im Punkt (0,m)

Der Konstant \displaystyle k wird die Steigung genannt, und bedeutet dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven \displaystyle x-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um \displaystyle k Einheiten in der positiven \displaystyle y-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:

  • Aufwärts wenn \displaystyle k>0.
  • Abwärts wenn \displaystyle k<0.

Eine horizontale Gerade, die parallel mit der \displaystyle x-Achse ist, hat \displaystyle k=0 während eine vertikale Gerade, parallel mit der \displaystyle y-Achse kein \displaystyle k hat (Eine vertikale Linie kann nicht wie \displaystyle y=kx+m geschrieben werden).

Beispiel 6

  1. Zeichen Sie die Gerade \displaystyle y=2x-1.

    Wenn wir die Gleichung mit der Standardform \displaystyle y=kx+m vergleichen, sehen wir dass \displaystyle k=2 und \displaystyle m=-1. Dies bedeutet dass die Gerade die Steigung \displaystyle 2 hat, und die \displaystyle y-Achse im Punkt \displaystyle (0,-1) kreuzt. Sehen Sie die linke Figur.
  2. Zeichnen Sie die Gerade \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 geschrieben werden, und wir sehen dass die Steigung \displaystyle k= -\tfrac{1}{2} ist, und dass \displaystyle m=2. Sehen Sie die rechte Figur.

[Image]

[Image]

Line y = 2x - 1 Line y = 2 - x/2

Beispiel 7

Was ist die Steigung der Geraden die durch die Punkte \displaystyle (2,1) und \displaystyle (5,3) geht?

Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir dass \displaystyle 5-2=3 Einheiten entlang der Geraden in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle 3-1=2 Einheiten in der \displaystyle y-Richtung entsprechen. Also entspricht \displaystyle 1 Schritt in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} Schritte in der \displaystyle y-Richtung. Also ist die Steigung \displaystyle k= \frac{2}{3}.

Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen dass für zwei Geraden die rechtwinklig sind und die Steigungen \displaystyle k_1 und \displaystyle k_2 haben, dass \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, oder anders geschrieben \displaystyle k_1 k_2 = -1.

[Image]

Die Gerade in der linken Figur hat die Steigung \displaystyle k, und also entspricht \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle x-Richtung, \displaystyle k Einheiten in die \displaystyle y-Richtung. Falls die Gerade \displaystyle 90^\circ im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Figur rechts. Wir sehen dass die Steigung jetzt \displaystyle -\frac{1}{k} ist, nachdem \displaystyle -k Einheiten in die \displaystyle x-Richtung \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle y-Richtung entsprechen.

Beispiel 8

  1. Die Geraden \displaystyle y=3x-1 und \displaystyle y=3x+5 sind parallel.
  2. Die Geraden \displaystyle y=x+1 und \displaystyle y=2-x sind rechtwinklig.

Alle Geraden, (auch die vertikalen), können generell wie

\displaystyle ax+by=c

geschrieben werden, wo \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstante sind.

Beispiel 9

  1. Schreiben Sie die Gerade \displaystyle y=5x+7 auf der Form \displaystyle ax+by=c.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten:\displaystyle -5x+y=7.
  2. Schreiben Sie die Gerade \displaystyle 2x+3y=-1 auf der Form \displaystyle y=kx+m.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten
  3. \displaystyle 3y=-2x-1

    4. und dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3

    \displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}

Here you can see how an equation for a line can be obtained if we know the coordinates of two points on the line.

Here you can vary k and m and see how this affects the line's characteristics.


Gebieten in einen Koordinatensystem

Man kann durch geometrische Interpretierung von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.

Beispiel 10

  1. Zeichnen Sie das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem dass die Ungleichung \displaystyle y\ge2 erfüllt.

    Das Gebiet besteht aus allen Punkten, \displaystyle (x,y), wo die \displaystyle y-Koordinate größer oder gleich \displaystyle 2 ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=2.

    [Image]

  2. Zeichnen Sie dass Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem dass die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt.

    Ein Punkt \displaystyle (x,y) der die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt, muss eine \displaystyle x-Koordinate haben die größer als die \displaystyle y-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden \displaystyle y=x.

    [Image]


    Dass die Gerade \displaystyle y=x gepunktet ist, heißt dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.

Beispiel 11

Zeichnen Sie dass Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem dass die Ungleichung \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4 erfüllt.

Die Doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden

\displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad and \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}

Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiten Seiten, und dividieren beide Seiden danach mit \displaystyle 2

\displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad and \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}

Die Punkte die die erste Ungleichung erfüllen liegen auf oder oberhalb der Geraden \displaystyle y = 1-\tfrac{3}{2}x, während dir Punkte die, die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden \displaystyle y= 2-\tfrac{3}{2}x liegen.

[Image]

Das linke Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\ge 2 und das rechte Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\le 4.

Die punkte die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.

[Image]

Das Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 2\le 3x+2y\le 4.

Beispiel 12

Die Geraden \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x und \displaystyle y=2 Begrenzen ein Dreieck.

[Image]


We find that for a point to lie in this triangle, it has to satisfy certain conditions.

Wir sehen dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss um im Dreieck zu liegen:

Die \displaystyle y-Koordinate muss geringer als \displaystyle 2 sein. Die \displaystyle y-Koordinate muss aber auch größer als \displaystyle 0 sein. Also muss es gelten dass \displaystyle 0\le y\le2.

Wir sehen auch dass alle Punkte oberhalb den Geraden \displaystyle y=-x und \displaystyle y=x liegen müssen. Dies entspricht dass \displaystyle -y\le x\le y. Nachdem wir Begrenzungen für die \displaystyle y-Koordinate haben, wissen wir auch dass \displaystyle x geringer als \displaystyle 2 sein muss, und größer als \displaystyle -2.

Die Basis des Dreiecks ist \displaystyle 4 und die Höhe ist \displaystyle 2.

Fie Fläche des Dreiecks ist daher \displaystyle 4\cdot 2/2=4.


Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie fertig mit der Theorie bist, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes ...

Zeichnen Sie immer ihre eigene Figuren wenn Sie geometrische Probleme lösen, und zeichnen Sie genau. Mit einer guten Figur sind Sie fast fertig, während eine schlechte Figur irreführend sein kann.


Nützliche Websites

Experiment with Equations of a Straight Line

Experiment with Archimedes Triangle & Squaring of Parabola.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.2_Lineare_Gleichungen“