1.3 Potenzen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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* Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen. | * Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen. | ||
* Die Rechenregeln für Exponenten beherrschen. | * Die Rechenregeln für Exponenten beherrschen. | ||
| - | * Wissen wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen). | + | * Wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen). |
| - | * Potenzen | + | * Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis). |
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{{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}} | ||
| - | + | Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet. | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
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== Rechenregeln für Potenzen == | == Rechenregeln für Potenzen == | ||
| - | Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man dass | + | Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass |
{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}} | ||
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| - | Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis | + | Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}} | ||
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| - | Wenn die Basis | + | Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist |
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}} | ||
| - | + | und | |
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}} | ||
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</div> | </div> | ||
| - | Es kann auch vorkommen dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel: | + | Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}} | ||
| - | Die allgemeine Rechenregel ist dass <math>(-1)^n </math> <math>-1</math> ist wenn <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math> wenn <math>n</math> gerade ist. | + | Die allgemeine Rechenregel ist, dass <math>(-1)^n </math> <math>-1</math> ist, wenn <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math>, wenn <math>n</math> gerade ist. |
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== Basis wechseln == | == Basis wechseln == | ||
| - | Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen | + | Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel: |
{{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}} | ||
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== Rationale Exponenten == | == Rationale Exponenten == | ||
| - | Was geschieht wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher | + | Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein? |
Nachdem zum Beispiel | Nachdem zum Beispiel | ||
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</div> | </div> | ||
| - | Wir müssen annehmen dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. | + | Wir müssen annehmen, dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. |
Wie haben aber zum Beispiel auch | Wie haben aber zum Beispiel auch | ||
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</div> | </div> | ||
| - | + | Indem man diese Regel mit der Regel <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> kombiniert, sieht man, dass für alle <math>a\ge0</math> folgendes gilt | |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
| Zeile 315: | Zeile 315: | ||
Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen. | Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen. | ||
| - | Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner je größer der Exponent wird. | + | Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
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</div> | </div> | ||
| - | Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer je größer die Basis wird. Das umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz. | + | Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
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</math>}} | </math>}} | ||
| - | nachdem man sieht dass <math>36^3 > 125^2</math>. | + | nachdem man sieht, dass <math>36^3 > 125^2</math>. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
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| - | Die Basis 25 kann | + | Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: <math>25= 5\cdot 5= 5^2</math>. Deshalb ist |
{{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}} | ||
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\end{align*}</math>}} | \end{align*}</math>}} | ||
| - | Jetzt sieht man dass | + | Jetzt sieht man, dass |
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}} | ||
Version vom 12:58, 8. Jun. 2009
| Theorie | Übungen |
Content:
- Positive ganze Exponenten
- Negative ganze Exponenten
- Rationale Exponenten
- Die Rechenregeln für Exponenten
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
- Die Begriffe Basis und Exponent verstehen.
- Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen.
- Die Rechenregeln für Exponenten beherrschen.
- Wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen).
- Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis).
Ganze Exponenten
Die Multiplikation ist eine Kürzung von wiederholten Additionen, zum Beispiel,
| \displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.} |
Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:
| \displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.} |
Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet.
Beispiel 1
- \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
- \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
- \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
- \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, but \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
- \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, but \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36
Beispiel 2
- \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
- \displaystyle (2\cdot 3)^4
= (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
\displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296
Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden:
| \displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.} |
Rechenregeln für Potenzen
Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass
| \displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8 |
Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann
| \displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.} |
Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes
| \displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.} |
Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann
| \displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.} |
Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist
| \displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{} |
und
| \displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.} |
Dies kann durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden
| \displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} |
Beispiel 3
- \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
- \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
- \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
- \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8
Beispiel 4
- \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
- \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9
Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:
| \displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.} |
Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle \displaystyle a \ne 0
| \displaystyle a^0 = 1\mbox{.} |
Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel:
| \displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} |
Dies muss bedeuten dass
| \displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} |
Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle \displaystyle a \ne 0
| \displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.} |
Beispiel 5
- \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
- \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
- \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
- \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
- \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
- \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
- \displaystyle 0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
Wenn die Basis einer Potenz \displaystyle -1 ist, ist der Ausdruck entweder \displaystyle -1 oder \displaystyle +1 je nach Exponent.
| \displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}} |
Die allgemeine Rechenregel ist, dass \displaystyle (-1)^n \displaystyle -1 ist, wenn \displaystyle n ungerade ist, und \displaystyle +1, wenn \displaystyle n gerade ist.
Beispiel 6
- \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad nachdem \displaystyle 56 gerade ist
- \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad nachdem 11 ungerade ist
- \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} \displaystyle \phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}
Basis wechseln
Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel:
| \displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots |
| \displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots |
| \displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots |
Und auch
| \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots |
| \displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots |
| \displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots |
Usw.
Beispiel 7
- Schreibe \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ Als eine Potenz mit der Basis 2.
- \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
- \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
- Schreibe \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ Als eine Potenz mit der Basis 3.
- \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
- \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
- Vereinfache \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} so weit wie möglich.
- \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
- \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8
Rationale Exponenten
Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?
Nachdem zum Beispiel
| \displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2 |
muss \displaystyle 2^{1/2} dasselbe wie \displaystyle \sqrt{2} sein, nachdem \displaystyle \sqrt2 definiert wird als die Zahl die \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 erfüllt.
Generell definiert man
| \displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.} |
Wir müssen annehmen, dass \displaystyle a\ge 0, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
Wie haben aber zum Beispiel auch
| \displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5 |
Was bedeuten muss dass \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, was durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden kann
| \displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.} |
Indem man diese Regel mit der Regel \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) kombiniert, sieht man, dass für alle \displaystyle a\ge0 folgendes gilt
| \displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m} |
oder
| \displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} |
Beispiel 8
- \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad as \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
- \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
- \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
- \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
Potenzen vergleichen
Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.
Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird.
Beispiel 9
- \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad nachdem die Basis \displaystyle 3 größer als \displaystyle 1 und der erste Exponent \displaystyle 5/6 größer als der zweite Exponent \displaystyle 3/4 ist.
- \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad nachdem die Basis größer als \displaystyle 1 ist, und es für die Exponente gilt dass \displaystyle -3/4 > - 5/6.
- \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad nachdem die Basis \displaystyle 0{,}3 zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 1 ist, und \displaystyle 5 > 4.
Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz.
Beispiel 10
- \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad nachdem die Basis \displaystyle 5 größer als die Basis \displaystyle 4 ist, und beide Potenzen denselben positiven Exponenten \displaystyle 3/2 haben.
- \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad nachdem es für die Basen gilt dass \displaystyle 2<3, und die Potenzen den negativen Exponenten \displaystyle -5/3 haben.
In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zu Beispiel \displaystyle 125^2 mit \displaystyle 36^3 zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben:
| \displaystyle
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 |
nachdem man sieht, dass \displaystyle 36^3 > 125^2.
Beispiel 11
Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größte ist.
- \displaystyle 25^{1/3} und \displaystyle 5^{3/4} .
Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Deshalb ist\displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3} Daher ist
nachdem \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} und die Basis \displaystyle 5 größer als \displaystyle 1 ist.\displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3} - \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 und \displaystyle 128.
\displaystyle 8 und \displaystyle 128 können beide mit der Basis \displaystyle 2 geschrieben werden\displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}} Dies bedeutet dass
\displaystyle \begin{align*} (\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\ 128 &= 2^7 = 2^{14/2} \end{align*}Daher ist
nachdem \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} und die Basis \displaystyle 2 größer als \displaystyle 1 ist.\displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128 - \displaystyle (8^2)^{1/5} und \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.
Nachdem \displaystyle 8=2^3 und \displaystyle 27=3^3, können die Basen als Exponenten von \displaystyle 2, respektive \displaystyle 3 geschrieben werden.\displaystyle \begin{align*} (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}\\ (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.}\end{align*}
Jetzt sieht man, dass
\displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} nachdem \displaystyle 3>2 und der Exponent \displaystyle \frac{6}{5} positiv ist.
- \displaystyle 3^{1/3} und \displaystyle 2^{1/2}
Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad und \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}. Dies ergibt
\displaystyle \begin{align*} 3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\ 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}\end{align*}
Daher ist
nachdem \displaystyle 9>8 und der Exponent \displaystyle 1/6 positiv ist.\displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
Bedenke folgendes:
Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist.
Literaturhinweise
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
Learn more about powers in the English Wikipedi
What is the greatest prime number? Read more at The Prime Page
Nützliche Websites
