3.3 Logarithmen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-Useful([\s\n]+)web([\s\n]+)sites +Nützliche Websites))
Zeile 16: Zeile 16:
'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
*The concepts of base and exponent.
*The concepts of base and exponent.
*The meaning of the notation <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> and <math>\log_{a}</math>.
*The meaning of the notation <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> and <math>\log_{a}</math>.
Zeile 27: Zeile 27:
}}
}}
-
==Logarithms to the base 10 ==
+
==Logarithmus zur Basis 10 ==
 +
 
 +
Oft verwendet man Potenzen mit der Basis <math>10</math> um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel,
-
We often use powers with base <math>10</math> to represent large and small numbers, for example,
 
-
 
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
Zeile 36: Zeile 36:
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
If one only considers the exponents one can state that
+
Wenn man den Exponenten betrachten sieht man dass:
-
:::"the exponent for 1000 is 3", or
+
:::"der exponent von 1000 3 ist", oder dass
-
:::"the exponent for 0.01 is -2".
+
:::"der Exponent von 0,01 -2 ist".
-
This is how logarithms are defined. One formalises this as follows:
+
Genau so wird der Logarithmus definiert. Mehr formell geschrieben haben wir:
-
:::"''The logarithm'' of 1000 is 3", which is written as <math>\lg 1000 = 3</math>,
+
:::"''Der Logarithmus'' von 1000 ist 3". Dies schreibt man <math>\lg 1000 = 3</math>,
-
:::"''The logarithm'' of 0.01 is -2", which is written as <math>\lg 0\textrm{.}01 = -2</math>.
+
:::"''Der Logarithmus'' von 0.01 ist -2". Dies schreibt man <math>\lg 0\textrm{.}01 = -2</math>.
-
More generally, one says:
+
Mehr allgemein gilt folgendes
-
:::The logarithm of a number <math>y</math> is designated by <math>\lg y</math> and is the exponent in the blue box which satisfies the equality
+
:::Der Logarithmus einer Zahl <math>y</math> wird <math>\lg y</math> benannt, und ist der Exponent, der die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} </math>}}
-
Note that <math>y</math> must be a positive number for the logarithm <math>\lg y</math> to be defined, since there is no power of 10 that evaluates to a negative number or for that matter zero .
+
erfüllt. <math>y</math> muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus <math>\lg y</math> definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer Positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 58: Zeile 58:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> nachdem <math>
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
= 100\,000</math>.</li>
= 100\,000</math>.</li>
-
<li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> nachdem <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
= 0\textrm{.}0001</math>.</li>
= 0\textrm{.}0001</math>.</li>
-
<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> nachdem <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math>.</li>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math>.</li>
-
<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> nachdem <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
-
<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> nachdem <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
= 10^{78}</math>.</li>
= 10^{78}</math>.</li>
-
<li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> nachdem <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math>.</li>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math>.</li>
-
<li><math>\lg (-10)</math> does not exist because <math>
+
<li><math>\lg (-10)</math> existiert nicht, nachdem <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> can never be -10 regardless of how <math>a</math> is chosen.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> nie -10 werden kann, egal wie man <math>a</math> wählt.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
In the penultimate example, one can easily understand that <math>\lg 50</math> must lie somewhere between 1 and 2 since <math>10^1 < 50 < 10^2</math>, but to obtain a more precise value of the irrational number <math>\lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots</math> one needs in practice, a calculator (or table.)
+
Im Beispiel oben, kann man leicht sehen dass <math>\lg 50</math> zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem <math>10^1 < 50 < 10^2</math>. Um einen genaueren Wert von <math>\lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots</math> zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 91: Zeile 91:
-
== Different bases ==
+
== Verschiedene Basen ==
-
One can imagine logarithms, which use a base other than 10 (except 1!). One must clearly indicate which number is used as a base for a logarithm. If one uses a base such as 2 one uses the notation <math>\log_{\,2}</math> for a "base-2 logarithm".
+
Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math>, und dies bedeutet "der Logarithmus in der Basis 2".
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 99: Zeile 99:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> nachdem <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> nachdem <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> nachdem <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> nachdem <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2}
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2}
= \frac{1}{4}</math>.</li>
= \frac{1}{4}</math>.</li>
Zeile 111: Zeile 111:
</div>
</div>
-
One deals with logarithms which have other bases in the same way.
+
Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz analog.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 117: Zeile 117:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> because <math>
+
<li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> nachdem <math>
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li>
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li>
-
<li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> because <math>
+
<li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> nachdem <math>
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li>
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li>
-
<li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> because <math>
+
<li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> nachdem <math>
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2}
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2}
= \frac{1}{16}</math>.</li>
= \frac{1}{16}</math>.</li>
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad
-
</math> as <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}}
+
</math> nachdem <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}}
-
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (if <math>b>0</math> and <math>b\not=1</math>).</li>
+
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (if <math>b>0</math> und <math>b\not=1</math>).</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
If the base 10 is used, one rarely writes <math>\log_{\,10}</math>, but as we have previously seen one uses the notation lg, or simply log, which appears on many calculators.
+
Wenn man in der Basis 10 rechnet, schreibt man selten <math>\log_{\,10}</math>, sondern man schreibt ganz einfach lg, oder log.
-
==The natural logarithms ==
+
== Der natürlicher Logarithmus ==
-
In practice there are two bases that are commonly used for logarithms, 10 and the number <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Logarithms using the base ''e'' are called '' natural logarithms'' and one uses the notation ln instead of <math>\log_{\,e}</math>.
+
Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Die Logarithmen mit der Basis ''e'' werden ''natürliche Logarithmen'' benannt. Statt <math>\log_{\,e}</math> schreibt man <math>\ln</math> wenn man natürliche Logarithmen berechnet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 141: Zeile 141:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> nachdem <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li>
-
<li><math> \ln e = 1\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln e = 1\quad</math> nachdem <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li>
-
<li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> nachdem <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}}
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}}
= \frac{1}{e^3}</math>.</li>
= \frac{1}{e^3}</math>.</li>
-
<li><math> \ln 1 = 0\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln 1 = 0\quad</math> nachdem <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
-
<li>If <math>y= e^{\,a}</math> then <math>a = \ln y</math>.</li>
+
<li>If <math>y= e^{\,a}</math> dann ist <math>a = \ln y</math>.</li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li>
Zeile 156: Zeile 156:
</div>
</div>
-
Most advanced calculators usually have buttons for 10-logarithms and natural logarithms.
+
Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.
-
== Laws of Logarithms ==
+
== Logarithmengesetze ==
-
Between the years 1617 and 1624 Henry Biggs published a table of logarithms for all integers up to 20 000, and in 1628 Adriaan Vlacq expanded the table for all integers up to 100 000. The reason such an enormous amount of work was invested in producing these tables is that with the help of logarithms one can multiply numbers together just by adding their logarithms (addition goes much faster to perform than multiplication).
+
In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen von den Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle zu Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann, und danach die Zahl aus den Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
Calculate <math>\,35\cdot 54</math>.
+
Berechnen Sie <math>\,35\cdot 54</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
If we know that <math>35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441}</math> and <math>54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324}</math> (i.e. <math>\lg 35 \approx 1\textrm{.}5441</math> and <math>\lg 54 \approx 1\textrm{.}7324</math>) then we can calculate that
+
Wenn wir wissen dass <math>35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441}</math> und <math>54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324}</math> (also dass <math>\lg 35 \approx 1\textrm{.}5441</math> und <math>\lg 54 \approx 1\textrm{.}7324</math>) können wir den Produkt einfach berechnen,
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 176: Zeile 176:
= 10^{\,3\textrm{.}2765}</math>}}
= 10^{\,3\textrm{.}2765}</math>}}
-
and we then know that <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (i.e. <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) thus we have managed to calculate the product
+
Wenn wir auch wissen dass <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (also <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) haben wir es geschafft den Produkt
{{Abgesetzte Formel||<math>35 \cdot 54 = 1890</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>35 \cdot 54 = 1890</math>}}
-
and this just by adding together exponents <math>1\textrm{.}5441</math> and <math>1\textrm{.}7324</math>.
+
nur mit Addition von den Exponenten <math>1\textrm{.}5441</math> und <math>1\textrm{.}7324</math> zu berechnen.
</div>
</div>
-
This is an example of a logarithmic law which says that
+
Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich
{{Abgesetzte Formel||<math>\log (ab) = \log a + \log b</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\log (ab) = \log a + \log b</math>}}
-
This stems from the fact that on the one hand,
+
Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 194: Zeile 194:
= 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}
= 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}
-
and on the other hand,
+
Aber anderseits haben wir auch
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}
-
By exploiting the laws of exponents in this way can we obtain the corresponding ''laws of logarithms'':
+
Mit den Rechenregeln für Potenzen, kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 209: Zeile 209:
</div>
</div>
-
The laws of logarithms apply regardless of base.
+
Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 257: Zeile 257:
-
== Changing the base ==
+
== Basis wechseln ==
-
It sometimes can be a good idea to express a logarithm as a logarithm having another base.
+
Manchmal will man Logarithmen in einer Basis, wie Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 265: Zeile 265:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Express <math>\lg 5</math> as a natural logarithm.
+
<li> Schreiben Sie <math>\lg 5</math> wie ein natürlicher Logarithmus.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
By definition, the <math>\lg 5</math> is a number that satisfies the equality
+
Laut Definition ist <math>\lg 5</math> die Zahl die die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}</math>}}
-
Take the natural logarithm ( ln ) of both sides.
+
erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
-
With the help of the logarithm law <math>\ln a^b = b \ln a</math> the left-hand side can be written as <math>\lg 5 \cdot \ln 10</math> and the equality becomes
+
Mit den Logarithmengesetz <math>\ln a^b = b \ln a</math> schreiben wir die linke Seite wie <math>\lg 5 \cdot \ln 10</math> und bekommen die Gleichung
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
-
Now divide both sides by <math>\ln 10</math> giving the answer
+
Division durch <math>\ln 10</math> ergibt die Antwort
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
Zeile 284: Zeile 286:
</math>}}</li>
</math>}}</li>
-
<li> Express the 2-logarithm of 100 as a 10-logarithm lg.
+
<li> Schreiben Sie den 2-Logarithmus von 100 wie ein 10-Logarithmus, lg.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Using the definition of a logarithm one has that <math>\log_2 100</math> formally satisfies
+
Laut der Definition des Logarithmus, haben wir dass <math>\log_2 100</math> die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100</math>}}
-
and taking the 10-logarithm (lg) of both sides, one gets
+
erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit den 10-Logarithmus), und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}
\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}
-
Since <math>\lg a^b = b \lg a</math> one gets <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> and the right-hand side can be simplified to <math>\lg 100 = 2</math>. This gives the equality
+
Nachdem <math>\lg a^b = b \lg a</math> erhalten wir <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> und die rechte Seite ist einfach <math>\lg 100 = 2</math>. Dies gibt die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}
\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}
-
Finally, dividing by <math>\lg 2</math> gives that
+
Mit Division durch <math>\lg 2</math> erhalten wir dass
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
Zeile 306: Zeile 308:
</div>
</div>
-
The general formula for changing from one base <math>a</math> to another base <math>b</math> can be derived in the same way
+
Die allgemeine Formel um Basis von <math>a</math> zu <math>b</math> in Logarithmen zu tauschen lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 313: Zeile 315:
\,\mbox{.}</math>}}
\,\mbox{.}</math>}}
-
If one wants to change the base of a power, one can do this by using logarithms. For instance, if we want to write <math> 2^5 </math> using the base 10 one first writes 2 as a power with the base 10;
+
Wenn wir zum Beispiel <math> 2^5 </math> in der Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 in der Basis 10
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 10^{\lg 2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 10^{\lg 2}</math>}}
-
and then using one of the laws of exponents
+
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
Zeile 325: Zeile 328:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Write <math> 10^x </math> using the base ''e''.
+
<li>Schreiben Sie <math> 10^x </math> in der natürlichen Basis ''e''.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
First, we write 10 as a power of ''e'',
+
Zuerst schreiben wir 10 in der Basis ''e'',
{{Abgesetzte Formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}
-
and then use the laws of exponents
+
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
\approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>
\approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> Write <math>e^{\,a}</math> using the base 10.
+
<li> Schreiben Sie <math>e^{\,a}</math> in der Basis 10
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The number <math>e</math> can be written as <math>e=10^{\lg e}</math> and therefore
+
Die Zahl <math>e</math> kann wie <math>e=10^{\lg e}</math> geschrieben, und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
e^a = (10^{\lg e})^a
e^a = (10^{\lg e})^a
Zeile 351: Zeile 354:
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Tipps fürs lernen'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
+
Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
-
'''Bedenke folgendes: '''
+
'''Bedenken Sie folgendes: '''
-
You may need to spend much time studying logarithms.
+
Lernen Sie die Logarithmengesetze ordentlich.
-
Logarithms usually are dealt with summarily in high school. Therefore, many college students tend to encounter problems when it comes to calculations with logarithms.
+
Viele Studenten in den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.

Version vom 16:50, 26. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Logarithms
  • Fundamental Laws of Logarithms

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • The concepts of base and exponent.
  • The meaning of the notation \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log and \displaystyle \log_{a}.
  • To calculate simple logarithmic expressions using the definition of a logarithm.
  • That logarithms are only defined for positive numbers.
  • The meaning of the number \displaystyle e.
  • To use the laws of logarithms to simplify logarithmic expressions.
  • To know when the laws of logarithms are valid.
  • To express a logarithm in terms of a logarithm with a different base.

Logarithmus zur Basis 10

Oft verwendet man Potenzen mit der Basis \displaystyle 10 um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel,

\displaystyle \begin{align*} 
   10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
   10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.}
 \end{align*}

Wenn man den Exponenten betrachten sieht man dass:

"der exponent von 1000 3 ist", oder dass
"der Exponent von 0,01 -2 ist".

Genau so wird der Logarithmus definiert. Mehr formell geschrieben haben wir:

"Der Logarithmus von 1000 ist 3". Dies schreibt man \displaystyle \lg 1000 = 3,
"Der Logarithmus von 0.01 ist -2". Dies schreibt man \displaystyle \lg 0\textrm{.}01 = -2.

Mehr allgemein gilt folgendes

Der Logarithmus einer Zahl \displaystyle y wird \displaystyle \lg y benannt, und ist der Exponent, der die Gleichung
\displaystyle 10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.}

erfüllt. \displaystyle y muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus \displaystyle \lg y definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer Positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.

Beispiel 1

  1. \displaystyle \lg 100000 = 5\quad nachdem \displaystyle 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000.
  2. \displaystyle \lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0\textrm{.}0001.
  3. \displaystyle \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}.
  4. \displaystyle \lg 1 = 0\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
  5. \displaystyle \lg 10^{78} = 78\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}.
  6. \displaystyle \lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50.
  7. \displaystyle \lg (-10) existiert nicht, nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}} nie -10 werden kann, egal wie man \displaystyle a wählt.

Im Beispiel oben, kann man leicht sehen dass \displaystyle \lg 50 zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem \displaystyle 10^1 < 50 < 10^2. Um einen genaueren Wert von \displaystyle \lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.

Beispiel 2

  1. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 100} = 100
  2. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg a} = a
  3. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50


Verschiedene Basen

Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man \displaystyle \log_{\,2}, und dies bedeutet "der Logarithmus in der Basis 2".

Beispiel 3

  1. \displaystyle \log_{\,2} 8 = 3\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8.
  2. \displaystyle \log_{\,2} 2 = 1\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2.
  3. \displaystyle \log_{\,2} 1024 = 10\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024.
  4. \displaystyle \log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.

Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz analog.

Beispiel 4

  1. \displaystyle \log_{\,3} 9 = 2\quad nachdem \displaystyle 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9.
  2. \displaystyle \log_{\,5} 125 = 3\quad nachdem \displaystyle 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125.
  3. \displaystyle \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad nachdem \displaystyle 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.
  4. \displaystyle \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad nachdem \displaystyle b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}} (if \displaystyle b>0 und \displaystyle b\not=1).

Wenn man in der Basis 10 rechnet, schreibt man selten \displaystyle \log_{\,10}, sondern man schreibt ganz einfach lg, oder log.


Der natürlicher Logarithmus

Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl \displaystyle e \displaystyle ({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,). Die Logarithmen mit der Basis e werden natürliche Logarithmen benannt. Statt \displaystyle \log_{\,e} schreibt man \displaystyle \ln wenn man natürliche Logarithmen berechnet.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \ln 10 \approx 2{,}3\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10.
  2. \displaystyle \ln e = 1\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e.
  3. \displaystyle \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{e^3}.
  4. \displaystyle \ln 1 = 0\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
  5. If \displaystyle y= e^{\,a} dann ist \displaystyle a = \ln y.
  6. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5
  7. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x

Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.


Logarithmengesetze

In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen von den Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle zu Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann, und danach die Zahl aus den Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).

Beispiel 6

Berechnen Sie \displaystyle \,35\cdot 54.

Wenn wir wissen dass \displaystyle 35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} und \displaystyle 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324} (also dass \displaystyle \lg 35 \approx 1\textrm{.}5441 und \displaystyle \lg 54 \approx 1\textrm{.}7324) können wir den Produkt einfach berechnen,

\displaystyle 
 35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324}
             = 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324}
             = 10^{\,3\textrm{.}2765}

Wenn wir auch wissen dass \displaystyle 10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890 (also \displaystyle \lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765) haben wir es geschafft den Produkt

\displaystyle 35 \cdot 54 = 1890

nur mit Addition von den Exponenten \displaystyle 1\textrm{.}5441 und \displaystyle 1\textrm{.}7324 zu berechnen.

Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich

\displaystyle \log (ab) = \log a + \log b

Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir

\displaystyle 
 a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b}
          = \left\{ \mbox{laws of exponents} \right\}
          = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}

Aber anderseits haben wir auch

\displaystyle 
 a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}

Mit den Rechenregeln für Potenzen, kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:

\displaystyle \begin{align*} 
   \log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
   \log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
   \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
  2. \displaystyle \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2
  3. \displaystyle 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25
  4. \displaystyle \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2

Beispiel 8

  1. \displaystyle \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3
  2. \displaystyle \ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e} = \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\frac{1}{\sqrt{e}}
    \displaystyle \phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(}
  3. \displaystyle \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81 = \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(}
  4. \displaystyle \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a} = 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
    \displaystyle \phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{} = (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0


Basis wechseln

Manchmal will man Logarithmen in einer Basis, wie Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.

Beispiel 9

  1. Schreiben Sie \displaystyle \lg 5 wie ein natürlicher Logarithmus.

    Laut Definition ist \displaystyle \lg 5 die Zahl die die Gleichung
    \displaystyle 10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}

    erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir

    \displaystyle \ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}

    Mit den Logarithmengesetz \displaystyle \ln a^b = b \ln a schreiben wir die linke Seite wie \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 und bekommen die Gleichung

    \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}

    Division durch \displaystyle \ln 10 ergibt die Antwort

    \displaystyle 
     \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
 \qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,
 \quad\text{dvs.}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}

  2. Schreiben Sie den 2-Logarithmus von 100 wie ein 10-Logarithmus, lg.

    Laut der Definition des Logarithmus, haben wir dass \displaystyle \log_2 100 die Gleichung
    \displaystyle 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100

    erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit den 10-Logarithmus), und erhalten

    \displaystyle 
     \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}

    Nachdem \displaystyle \lg a^b = b \lg a erhalten wir \displaystyle \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 und die rechte Seite ist einfach \displaystyle \lg 100 = 2. Dies gibt die Gleichung

    \displaystyle 
     \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}

    Mit Division durch \displaystyle \lg 2 erhalten wir dass

    \displaystyle 
     \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
 \qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
 \quad\text{that is}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}

Die allgemeine Formel um Basis von \displaystyle a zu \displaystyle b in Logarithmen zu tauschen lautet

\displaystyle 
 \log_{\scriptstyle\,a} x
  = \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
  \,\mbox{.}

Wenn wir zum Beispiel \displaystyle 2^5 in der Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 in der Basis 10

\displaystyle 2 = 10^{\lg 2}

und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

\displaystyle 
 2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
 \quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}

Beispiel 10

  1. Schreiben Sie \displaystyle 10^x in der natürlichen Basis e.

    Zuerst schreiben wir 10 in der Basis e,
    \displaystyle 10 = e^{\ln 10}

    und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

    \displaystyle 
     10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
      \approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}
  2. Schreiben Sie \displaystyle e^{\,a} in der Basis 10

    Die Zahl \displaystyle e kann wie \displaystyle e=10^{\lg e} geschrieben, und daher ist
    \displaystyle 
     e^a = (10^{\lg e})^a
     = 10^{\,a \cdot \lg e}
     \approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}


Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Lernen Sie die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele Studenten in den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:

Learn more about logarithms in English Wikipedia

Learn more about the number e in The MacTutor History of Mathematics archive


Nützliche Websites

Experiment with logarithms and powers

Play logarithm Memory

Help the frog to jump onto his water-lily leaf in the "log" game

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.3_Logarithmen“