2.2 Lineare Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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*First degree equations
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* Lineare Gleichungen
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* Equation of a straight line
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* Gleichung einer Linie
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*Geometrical problems
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* Geometrische Probleme
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*Regions that are defined using inequalities
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* Gebiete definiert durch lineare Gleichungen
}}
}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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*Solve algebraic equations, which after simplification results in first degree equations.
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*Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen Lineare Gleichungen ergeben, lösen.
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*Convert between the forms ''y'' = ''kx'' + ''m'' and ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0.
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*Gleichungen zwischen den Formen ''y'' = ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0. zu transformieren.
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*Sketch straight lines from their equation.
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*Geraden die durch eine lineare Gleichung definiert sind zeichnen.
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* Solve geometric problems which contain straight lines.
+
* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
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*Sketch regions defined by linear inequalities and determine the area of these regions.
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* Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dessen Gebieten berechnen.
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}}
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== First degree equations ==
+
== Lineare Gleichungen ==
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To solve first degree equations (also known as linear equations) we perform calculation on both sides simultaneously, which gradually simplifies the equation and ultimately leads to <math>x</math> being alone on one side of the equation.
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Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch Arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li>Solve the equation <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
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Subtract <math>3</math> from both sides
+
Wir subtrahieren <math>3</math> von beiden Seiten
:<math>x+3-3=7-3</math>.
:<math>x+3-3=7-3</math>.
-
The left-hand side then simplifies to <math>x</math> , and we get
+
Die linke Seite ist danach <math>x</math>, und also ist unsere Gleichung gelöst:
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
-
<li>Solve the equation <math>3x=6</math>. <br/><br/>
+
<li>Lösen Sie die Gleichung <math>3x=6</math>. <br/><br/>
-
Divide both sides by <math>3</math>
+
Wier dividieren beide Seiten mit <math>3</math>
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
-
After having cancelled <math>3</math> on the left-hand side, we have
+
Nachdem wir <math>3</math> auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
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<li> Solve the equation <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
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First we subtract <math>1</math> from both sides to get <math>2x</math> on its own on the left-hand side
+
Zuerst subtrahieren wirt <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
-
Then we divide both sides by <math>2</math> and get the answer
+
Jetzt dividieren wir beide Seiten mit <math>2</math>, und bekommen die Lösung:
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
A first degree equation can be written in the normal form <math>ax=b</math>. The solution is then simply <math>x=b/a</math> (we must assume that <math>a\not=0</math>).
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Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform <math>ax=b</math> geschrieben werden. Die Lösung bekommen wir einfach durch division mit ''a'', <math>x=b/a</math> (nur wenn <math>a\not=0</math>).
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The possible difficulties that may occur when you solve a first degree equation are thus not in themselves the form of the solution but rather the simplifications that may be needed to achieve the normal form. Below are a couple examples that have in common that an equation can be simplified to linear normal form and thus has a unique solution.
+
 
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Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen die notwendig sind um die Gleichung auf die Standardform zu schreiben. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen die alle auf Standardform geschrieben werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Beispiel 2'''
'''Beispiel 2'''
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Solve the equation<math>\,2x-3=5x+7</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\,2x-3=5x+7</math>.
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Since <math>x</math> occurs on both the left- and right-hand sides we subtract <math>2x</math> from both sides
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Nachdem <math>x</math> links und rechts erscheint, subtrahieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>2x</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}}
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and now <math>x</math> only appears on the right-hand side
+
und jetzt kommt <math>x</math> nur in der rechten Seite vor
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}}
-
Now we subtract 7 from both sides
+
Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}}
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and get <math>3x</math> on its own on the right-hand side
+
und erhalten <math>3x</math> alleine auf der rechten Seite der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}}
-
The last step is to divide both sides by <math>3</math>
+
Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten mit <math>3</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}}
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and this gives that
+
und erhalten die Lösung
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}}
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'''Beispiel 3'''
'''Beispiel 3'''
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Solve for <math>x</math> in the equation <math>ax+7=3x-b</math>.
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Lösen Sie (für <math>x</math>) die Gleichung <math>ax+7=3x-b</math>.
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By subtracting <math>3x</math> from both sides
+
Indem wir <math>3x</math> von beiden Seiten subtrahieren
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}</math>}}
-
and then subtract <math>7</math>
+
und danach <math>7</math> von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
-
We have gathered together all the terms that contain <math>x</math> on the left-hand side and all other terms on the right-hand side. Since the terms on the left-hand side have <math>x</math> as a common factor <math>x</math> can be factored out
+
Jetzt sind alle Terme die <math>x</math> enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> faktorisieren
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
-
Divide both sides with <math>a-3</math> giving
+
Wenn wir beide Seiten mit <math>a-3</math> dividieren erhalten wir die Lösung
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
It is not always obvious that you are dealing with a first degree equation. In the following two examples simplifications turn the original equation into a first degree equation.
+
Es ist nicht immer offenbar ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir das Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
Solve the equation<math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
-
 
+
-
Expand the quadratic expressions on both sides
+
Wir erweitern die quadratische Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}}
-
Subtract <math>4x^2</math> from both sides
+
Hier subtrahieren wir <math>4x^2</math> von beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}}
-
Add <math>6x</math> to both sides
+
und addieren <math>6x</math> zu beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}}
-
Subtract <math>49</math> from both sides
+
und subtrahieren <math>49</math> von beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}}
-
Divide both sides by <math>34</math>
+
und schließlich dividieren wir beide Seiten mit <math>34</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
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Solve the equation <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.

Version vom 13:30, 1. Mär. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Lineare Gleichungen
  • Gleichung einer Linie
  • Geometrische Probleme
  • Gebiete definiert durch lineare Gleichungen

{{Info| Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen Lineare Gleichungen ergeben, lösen.
  • Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. zu transformieren.
  • Geraden die durch eine lineare Gleichung definiert sind zeichnen.
  • Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
  • Gebiete die durch lineare Gleichungen definiert sind zeichnen, und die Fläche dessen Gebieten berechnen.

Lineare Gleichungen

Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch Arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.

Beispiel 1

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle x+3=7.

    Wir subtrahieren \displaystyle 3 von beiden Seiten
    \displaystyle x+3-3=7-3.
    Die linke Seite ist danach \displaystyle x, und also ist unsere Gleichung gelöst:
    \displaystyle x=7-3=4.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 3x=6.

    Wier dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3
    \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
    Nachdem wir \displaystyle 3 auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
    \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
  3. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}

    Zuerst subtrahieren wirt \displaystyle 1 von beiden Seiten, sodass \displaystyle 2x alleine links steht
    \displaystyle 2x=5-1.
    Jetzt dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 2, und bekommen die Lösung:
    \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.

Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform \displaystyle ax=b geschrieben werden. Die Lösung bekommen wir einfach durch division mit a, \displaystyle x=b/a (nur wenn \displaystyle a\not=0).

Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen die notwendig sind um die Gleichung auf die Standardform zu schreiben. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen die alle auf Standardform geschrieben werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \,2x-3=5x+7.


Nachdem \displaystyle x links und rechts erscheint, subtrahieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 2x

\displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x

und jetzt kommt \displaystyle x nur in der rechten Seite vor

\displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.}

Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle -3 -7 = 3x +7-7

und erhalten \displaystyle 3x alleine auf der rechten Seite der Gleichung

\displaystyle -10=3x\,\mbox{.}

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 3

\displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}

und erhalten die Lösung

\displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}

Beispiel 3

Lösen Sie (für \displaystyle x) die Gleichung \displaystyle ax+7=3x-b.


Indem wir \displaystyle 3x von beiden Seiten subtrahieren

\displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x
\displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}

und danach \displaystyle 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

\displaystyle ax+7-3x -7=-b-7
\displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7

Jetzt sind alle Terme die \displaystyle x enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor \displaystyle x faktorisieren

\displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.}

Wenn wir beide Seiten mit \displaystyle a-3 dividieren erhalten wir die Lösung

\displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}

Es ist nicht immer offenbar ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir das Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.

Beispiel 4

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.

Wir erweitern die quadratische Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.

\displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}
\displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}

Hier subtrahieren wir \displaystyle 4x^2 von beiden Seiten

\displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}

und addieren \displaystyle 6x zu beiden Seiten

\displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.}

und subtrahieren \displaystyle 49 von beiden Seiten

\displaystyle -40=34x\; \mbox{.}

und schließlich dividieren wir beide Seiten mit \displaystyle 34

\displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}

Beispiel 5

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.


Collect both terms to one side

\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}

Convert the terms so that they have the same denominator

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0

and simplify the numerator

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}

This equation only is satisfied when the numerator is equal to zero (whilst the denominator is not equal to zero);

\displaystyle 5x+4=0

which gives that \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.


Straight lines

Functions such as

\displaystyle y = 2x+1
\displaystyle y = -x+3
\displaystyle y = \frac{1}{2} x -5

are examples of linear functions, and they generally can be put into the form

\displaystyle y = kx+m

where \displaystyle k and \displaystyle m are constants.

The graph of a linear function is always a straight line and the constant \displaystyle k indicates the slope of the line with respect to the \displaystyle x-axis and \displaystyle m gives the \displaystyle y-coordinate of the point where the line intersects the \displaystyle y-axis.

[Image]

The line y = kx + m has slope k and cuts the y-axis at (0,m)

The constant \displaystyle k is called the slope and means that a unit change in the positive \displaystyle x-direction along the line gives \displaystyle k units change in the positive \displaystyle y-direction. Thus if

  • \displaystyle k>0\, the line slopes upwards,
  • \displaystyle k<0\, the line slopes downwards.

For a horizontal line (parallel to the \displaystyle x-axis) \displaystyle k=0 whereas a vertical line (parallel to the \displaystyle y-axis) does not have a \displaystyle k value ( a vertical line cannot be written in the form \displaystyle y=kx+m).

Beispiel 6

  1. Sketch the line \displaystyle y=2x-1.

    Comparing with the standard equation \displaystyle y=kx+m we see that \displaystyle k=2 and \displaystyle m=-1. This means that the line's slope is \displaystyle 2 and that it cuts the \displaystyle y-axis at \displaystyle (0,-1). See the figure below to the left.
  2. Sketch the line \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.

    The equation of the line can be written as \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 , and then we see that its slope is \displaystyle k= -\tfrac{1}{2}and that \displaystyle m=2. See the figure below to the right.

[Image]

[Image]

Line y = 2x - 1 Line y = 2 - x/2

Beispiel 7

What is the slope of the straight line that passes through the points \displaystyle (2,1) and \displaystyle (5,3)?


If we plot the points and draw the line in a coordinate system, we see that \displaystyle 5-2=3 steps in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle 3-1=2 steps in the \displaystyle y-direction along the line. This means that \displaystyle 1 step in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} steps in the \displaystyle y-direction. So the line's slope is \displaystyle k= \frac{2}{3}.

python

Two straight lines that are parallel clearly have the same slope. It is also possible to see (such as in the figure below) that for two lines having slopes \displaystyle k_1 and \displaystyle k_2 and also are perpendicular then \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, which also can be written as \displaystyle k_1 k_2 = -1.

[Image]

The straight line in the figure on the left has slope \displaystyle k, that is \displaystyle 1 step in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle k steps in the \displaystyle y-direction. If the line is rotated \displaystyle 90^\circ clockwise, we get the line in the figure to the right, and that line has slope \displaystyle -\frac{1}{k} because now \displaystyle -k steps in the \displaystyle x-direction corresponds to \displaystyle 1 step in the \displaystyle y-direction

Beispiel 8

  1. The lines \displaystyle y=3x-1 and \displaystyle y=3x+5 are parallel.
  2. The lines \displaystyle y=x+1 and \displaystyle y=2-x are perpendicular.

All straight lines (including vertical lines) can be put into the general form

\displaystyle ax+by=c

where \displaystyle a, \displaystyle b and \displaystyle c are constants.

Beispiel 9

  1. Put the line \displaystyle y=5x+7 into the form \displaystyle ax+by=c.

    Move the \displaystyle x-term to the left-hand side: \displaystyle -5x+y=7.
  2. Put the line \displaystyle 2x+3y=-1 into the form \displaystyle y=kx+m.

    Move the \displaystyle x-term to the right-hand side \displaystyle 3y=-2x-1 and divide both sides by \displaystyle 3
    \displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}

Here you can see how an equation for a line can be obtained if we know the coordinates of two points on the line.

Here you can vary k and m and see how this affects the line's characteristics.


Regions in a coordinate system

By geometrically interpreting inequalities, one can describe regions in the plane.

Beispiel 10

  1. Sketch the region in the \displaystyle x,y-plane that satisfies \displaystyle y\ge2.

    The region is given by all the points \displaystyle (x,y) for which the \displaystyle y-coordinate is equal or greater than \displaystyle 2 that is all points on or above the line \displaystyle y=2.

    [Image]

  2. Sketch the region in the \displaystyle x,y-plane that satisfies \displaystyle y < x.

    A point \displaystyle (x,y) that satisfies the inequality \displaystyle y < x must have an \displaystyle x-coordinate that is larger than its \displaystyle y-coordinate. Thus the area consists of all the points to the right of the line \displaystyle y=x.

    [Image]

    The fact that the line \displaystyle y=x is dashed means that the points on the line do not belong to the coloured area.

Beispiel 11

Sketch the region in the \displaystyle x,y-plane that satisfies \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4.


The double inequality can be divided into two inequalities

\displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad and \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}

We move the \displaystyle x-terms into the right-hand side and divide both sides by \displaystyle 2 giving

\displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad and \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}

The points that satisfy the first inequality are on and above the line \displaystyle y \ge 1-\tfrac{3}{2}x while the points that satisfy the other inequality are on or below the line \displaystyle y\le 2-\tfrac{3}{2}x.

[Image]

The figure on the left shows the region \displaystyle 3x+2y\ge 2 and figure to the right shows the region \displaystyle 3x+2y\le 4.


Points that satisfy both inequalities form a band-like region where both coloured areas overlap.

[Image]

The figure shows the region \displaystyle 2\le 3x+2y\le 4.

Beispiel 12

If we draw the lines \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x and \displaystyle y=2 then these lines bound a triangle in a coordinate system.

[Image]

We find that for a point to lie in this triangle, it has to satisfy certain conditions.

We see that its \displaystyle y-coordinate must be less than \displaystyle 2. At the same time, we see that the triangle is bounded by \displaystyle y=0 below. Thus the \displaystyle y coordinates must be in the range \displaystyle 0\le y\le2.

For the \displaystyle x-coordinate, the situation is a little more complicated. We see that the \displaystyle x-coordinate must satisfy the fact that all points lie above the lines \displaystyle y=-x and \displaystyle y=x. We see that this is satisfied if \displaystyle -y\le x\le y. Since we already have restricted the \displaystyle y-coordinates, we see that \displaystyle x cannot be larger than \displaystyle 2 or less than \displaystyle -2.

Thus the base of the triangle is \displaystyle 4 units of length and the height \displaystyle 2 units of length.

The area of this triangle is therefore \displaystyle 4\cdot 2/2=4 units of area.


Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes ...

Draw your own diagrams when you solve geometrical problems and draw carefully and accurately! A good diagram can mean you are halfway to a solution, but a poor diagram may well fool you.


Nützliche Websites

Experiment with Equations of a Straight Line

Experiment with Archimedes Triangle & Squaring of Parabola.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.2_Lineare_Gleichungen“