2.1 Algebraische Ausdrücke

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Distributive law
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* Das Distributivgesetz
* Squaring rules
* Squaring rules
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*Difference of two squares
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* Difference of two squares
* Rational expressions
* Rational expressions
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== Distributive Law ==
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== Das Distributivgesetz ==
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Das Distributivgesetz ist die Regel die für die Multiplikation von Klammern mit einen Faktor.
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The distributive law specifies how to multiply a bracketed expression by a factor.
 
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz}}</center>
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</div>
</div>
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Using the distributive law, we can also see how to tackle
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Das Distributivgesetz erklärt auch wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll, nämlich dass ein Minuszeichen vor einer Klammer dasselbe ist wie wenn man alle Zeichen in den Ausdruck wechselt.
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a minus sign in front of a bracketed expression.
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The rule says that a bracket with a minus sign in front can be
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eliminated if all the terms inside the brackets, switch signs.
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</div>
</div>
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If the distributive law is applied in reverse we say we “factor” the expression.
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Das Distributivgesetz kann auch in verkehrter Reihenfolge benutzt werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.
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One often would like to to factorise out as large a numerical factor as possible.
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
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== Squaring rules ==
+
== Die binomische Formeln ==
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The distributive law occasionally has to be used repeatedly to deal with larger expressions.
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Das Distributivgesetz kann verwendet werden um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten
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If we consider
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{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
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and regard <math>a+b</math> as a factor that multiplies the bracketed expression <math>(c+d)</math> we get
+
und <math>(a+b)</math> als einen Faktor betrachten der mit der Klammer <math>(c+d)</math> multipliziert wird, bekommen wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
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&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
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Then the <math>c</math> and the <math>d</math> are multiplied into their respective brackets,
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Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz zweimal, und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern.
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
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A mnemonic for this formula is:
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Um sich an die Formel zu erinnern kann man wie folgt denken:
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center>
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</div>
</div>
-
Two important special cases of the above formula are when <math>a+b</math> and <math>c+d</math> are the same expression
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Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von diese Regel, nämlich wenn <math>a+b</math> und <math>c+d</math> gleich sind.
<div class="regel">
<div class="regel">
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'''Squaring rules '''
+
'''Binomische Formeln'''
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}}
</div>
</div>
-
These formulas are called the first and second squaring rules
+
Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</div>
</div>
-
The squaring rules are also used in the reverse direction to factorise expressions.
+
Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden um einen Ausdruck in seine Faktoren zu zerlegen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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== Difference of two squares ==
+
== Differenz von zwei Quadraten ==
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A third special case of the first formula in the last section is the difference of two squares rule.
+
Es gibt auch eine dritte binomische Formel, und sie lautet:
<div class="regel">
<div class="regel">
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'''Difference of two squares:'''
+
'''Die Differenz von zwei Quadraten:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}}
</div>
</div>
-
This formula can be obtained directly by expanding the left hand side
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Diese Formel kann hergeleitet werden indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
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== Rational expressions==
+
== Rationale Ausdrücke ==
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Calculations of fractions containing algebraic expressions are largely similar to ordinary calculations with fractions.
+
Rechnungen mit rationalen Ausdrücken sind sehr ähnlich Rechnungen mit Brüchen
-
Multiplication and division of fractions containing algebraic expressions follow the same rules that apply to ordinary fractions,
+
Alle Rechenregeln die für Brüche gelten, gelten auch für Rationale Ausdrücke,
<div class="regel">
<div class="regel">
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</div>
</div>
-
A fractional expression can have its numerator and denominator multiplied by the same factor
+
Ban kann den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie mit Brüchen erweitern.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
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= \dots</math>}}
= \dots</math>}}
-
The opposite of this, is cancellation, where we delete factors that the numerator and denominator have in common
+
Das umgekehrte geht auch, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck dividiert. Dies nennt man wie bei Brüchen auch kürzen.
 +
 
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
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</div>
</div>
-
When fractional expressions are added or subtracted, they may need to be converted so that they have the same denominator before the numerators can be combined together,
+
Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben,
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= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
-
One normally tries to convert the fractions by multiplying the numerators and denominators by minimal factors to facilitate the calculations. The lowest common denominator (LCD) is the common denominator which contains the least number of factors.
+
Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner des Brüchen finden.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> has <math>\ \text{LCD}
+
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
-
= (x+1)(x+2)</math> <br><br>
+
(x+1)(x+2)</math> <br><br>
-
Convert the first term using <math>(x+2)</math> and the second term using <math>(x+1)</math>
+
Wir erweitern den ersten Bruck mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
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= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
\end{align*}</math>}}</li>
\end{align*}</math>}}</li>
-
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> has <math>\ \text{LCD}
+
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
-
= x^2</math><br><br>
+
x^2</math><br><br>
-
We only need to convert the first term to get a common denominator
+
Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bekommen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> has <math>\
+
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
-
\text{LCD}= x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
+
Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math>
-
The first term is converted using <math>x(x+2)</math> while the other term is converted using <math>(x+1)^2</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
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&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
\end{align*}</math>}}</li>
\end{align*}</math>}}</li>
-
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> has <math>\
+
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br>
-
\text{LCD}=x(x-1)(x+1)</math><br><br>
+
 
-
We must convert all the terms so that they have the common denominator <math>x(x-1)(x+1)</math>
+
Wir müssen alle Brüche erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben<math>x(x-1)(x+1)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1

Version vom 15:47, 8. Jan. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Das Distributivgesetz
  • Squaring rules
  • Difference of two squares
  • Rational expressions

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:

  • Simplify complex algebraic expressions.
  • Factorise expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.
  • Expand expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.

Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist die Regel die für die Multiplikation von Klammern mit einen Faktor.


[Image]

Beispiel 1

  1. \displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
  2. \displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
  3. \displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
  4. \displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az

Das Distributivgesetz erklärt auch wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll, nämlich dass ein Minuszeichen vor einer Klammer dasselbe ist wie wenn man alle Zeichen in den Ausdruck wechselt.

Beispiel 2

  1. \displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
  2. \displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x
    where we have in the final step used \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}
  3. \displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
    \displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3
  4. \displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
    \displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2

Das Distributivgesetz kann auch in verkehrter Reihenfolge benutzt werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
  2. \displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
  3. \displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
  4. \displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1


Die binomische Formeln

Das Distributivgesetz kann verwendet werden um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten

\displaystyle (a+b)(c+d)

und \displaystyle (a+b) als einen Faktor betrachten der mit der Klammer \displaystyle (c+d) multipliziert wird, bekommen wir

\displaystyle \eqalign{ 
 \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
   &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
      + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
 (a+b)\,(c+d)
   &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}

Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz zweimal, und multiplizieren \displaystyle c und \displaystyle d mit ihren jeweiligen Klammern.

\displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}

Um sich an die Formel zu erinnern kann man wie folgt denken:

[Image]

Beispiel 4

  1. \displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2
    \displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2
  2. \displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)
    \displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y
  3. \displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2
    \displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2 where we have used \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von diese Regel, nämlich wenn \displaystyle a+b und \displaystyle c+d gleich sind.

Binomische Formeln

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
\displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2

Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.

Beispiel 5

  1. \displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
  2. \displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9
    where \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
  3. \displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
  4. \displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x
  5. \displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
    \displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8
  6. \displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8

Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden um einen Ausdruck in seine Faktoren zu zerlegen.

Beispiel 6

  1. \displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
  2. \displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
  3. \displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2


Differenz von zwei Quadraten

Es gibt auch eine dritte binomische Formel, und sie lautet:

Die Differenz von zwei Quadraten:

\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2

Diese Formel kann hergeleitet werden indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.

\displaystyle (a+b)(a-b) 
 = a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
 = a^2 -ab+ab-b^2
 = a^2 -b^2\mbox{.}

Beispiel 7

  1. \displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
  2. \displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
  3. \displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
  4. \displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)
    \displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)


Rationale Ausdrücke

Rechnungen mit rationalen Ausdrücken sind sehr ähnlich Rechnungen mit Brüchen

Alle Rechenregeln die für Brüche gelten, gelten auch für Rationale Ausdrücke,

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} 
 = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
 \quad \mbox{and} \quad
 \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
 = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}

Ban kann den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie mit Brüchen erweitern.

\displaystyle \frac{x+2}{x+1} 
 = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
 = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
 = \dots

Das umgekehrte geht auch, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck dividiert. Dies nennt man wie bei Brüchen auch kürzen.

\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) } 
 = \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
 = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
  2. \displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Difference of two squares}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}

Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben,


\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} 
 = \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
 = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
 = \frac{x-1-x}{x(x-1)}
 = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}

Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner des Brüchen finden.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle (x+1)(x+2)

    Wir erweitern den ersten Bruck mit \displaystyle (x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)
    \displaystyle \begin{align*} 
       \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
     &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
      = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
   \end{align*}
  2. \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2

    Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bekommen.
    \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} 
       = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
   = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}
  3. \displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2(x+1)^2(x+2)

    Wie erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle x(x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)^2
    \displaystyle \begin{align*} 
       \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
     &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
        - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
   \end{align*}
  4. \displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1)

    Wir müssen alle Brüche erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben\displaystyle x(x-1)(x+1)
    \displaystyle \begin{align*} 
       \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
     &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
        - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
        - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
   \end{align*}

To simplify large expressions, it is often necessary to both cancel factors and multiply numerators and denominators by factors. As cancellation implies that we have performed factorisations, it is obvious we should try to keep expressions (such as the denominator) factorised and not expand something that we will later need to factorise.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \left\{\,\mbox{MGN} = (x+2)(x-2)\,\right\}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}
  2. \displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}

    \displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}


Übungen


Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Be careful. If you make a mistake somewhere the rest of the calculation will be wrong.

Use many intermediate steps. If you are unsure of a calculation do it in many small steps rather than one big step.

Do not expand unnecessarily. You later may be forced to factorise what you earlier expanded.


Reviews

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Understanding Algebra - English text on the Web


Nützliche Websites

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