1.2 Brüche

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Version vom 07:13, 28. Okt. 2008

       Theorie          Übungen      

Contents:

  • Addition und Subtraktion von Brüchen
  • Multiplikation und Division von Brüchen

Learning outcomes:

After this section, you should have learned to:

  • Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen.
  • Brüche so weit wie möglich kürzen.
  • Den kleinsten gemeinsamen Nenner einer Bruchzahl zu bestimmen.


Brüche kürzen und erweitern

Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel:

\displaystyle 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}

Ein Bruch ändert also nicht sein Wert, indem man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert. Dies Nennt man erweitern und kürzen.

Beispiel 1 Multiplikation mit derselben Zahl:

  1. \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{10}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}

Division mit derselben Zahl:

  1. \displaystyle \frac{9}{12} = \frac{9/3}{12/3} = \frac{3}{4}
  2. \displaystyle \frac{72}{108} = \frac{72/2}{108/2} = \frac{36}{54} = \frac{36/6}{54/6} = \frac{6}{9} = \frac{6/3}{9/3} = \frac{2}{3}

Ein Bruch sollte immer so weit wie möglich gekürzt werden. Dies kann bei großen Zahlen schwierig werden. Deshalb sollte man die Brüche so kurz wie möglich schreiben in den Berechnungen.


Addition und Subtraktion von Brüchen

Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn so nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer angemessenen Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen.

Beispiel 2

  1. \displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3} + \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{2}{9} = \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3} - \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18}

Das wichtigste hier ist einen gemeinsamen Nenner zu finden. Ideal ist aber den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüchen erweitert. Dies ist aber nicht immer notwendig.


Beispiel 3

  1. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12} - \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\displaystyle\frac{7}{15}-\frac{1}{12}}{}{} = \frac{84}{180}-\frac{15}{180} = \frac{69}{180} = \frac{69/3}{180/3} = \frac{23}{60}
  2. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}- \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5} = \frac{28}{60}-\frac{5}{60} = \frac{23}{60}
  3. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6} + \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6} - \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{}{} = \frac{24}{192} + \frac{144}{192} - \frac{32}{192} = \frac{136}{192} = \frac{136/8}{192/8} = \frac{17}{24}
  4. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3} + \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6} - \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{18}{24} - \frac{4}{24} = \frac{17}{24}

Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den kleinsten gemeinsamen Nenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine generelle Methode um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, besteht daraus dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.

Beispiel 4

  1. Vereinfache \displaystyle \ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}.

    Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren. Statt dass wir jetzt beide Brüche mit den ganzen Nenner des anderen Bruches erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren die nicht in beiden Nennern vorkommen. Dies ist der kleinster gemeinsamer Nenner.
    \displaystyle \left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\} \quad\Rightarrow\quad \text{LCD} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}

    Also haben wir

    \displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}
  2. Vereinfache \displaystyle \ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}.

    Wir multiplizieren alle Primfaktoren des Nenners die nicht in allen Nennern vorkommen, und erhalten dadurch den kleinsten gemeinsamen Nenner.
    \displaystyle \left. \eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3} \right\} \quad\Rightarrow\quad \text{LCD} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}

    Also haben wir

    \displaystyle \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}


Multiplikation

Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offenbar dass zum Beispiel \displaystyle \tfrac{1}{3} multipliziert mit 2 \displaystyle \tfrac{2}{3} ergibt, also:

\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}

Wenn man Brüche miteinander multipliziert, multipliziert man die Zähler und die Nenner einzeln.

Beispiel 5

  1. \displaystyle 8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7}
  2. \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \frac{2}{15}

Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt.

Beispiel 6 Vergleiche die beiden Rechnungen:

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5}
  2. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \frac{2}{5}

In 6b hat man den Bruch mit 3 einen Schritt vorher gekürzt als in 6a, aber beide Rechnungen ergeben dasselbe.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7} = \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1} = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}
  2. \displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}} = \frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3} = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} = \frac{8}{9}


Division

Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{4} in 2 teilt bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{8}. Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{2} in 5 teilt bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{10}. Wir haben also:

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ and } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}

Wenn ein Bruch mit eine ganzen Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert.

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 = \frac{3}{5\cdot 4} = \frac{3}{20}
  2. \displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 = \frac{6}{7\cdot 3} = \frac{2\cdot\not{3}}{7\cdot \not{3}} = \frac{2}{7}

Wenn man eine ganze Zahl mit einen Bruch dividiert, wird die Zahl mit dem Kehrbruch des Bruches multipliziert. Zum Beispiel ist die Division durch \displaystyle \frac{1}{2} dasselbe wie eine multiplikation mit \displaystyle \frac{2}{1}, also 2.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} = 3\cdot \frac{2}{1} = \frac{3\cdot 2}{1} = 6
  2. \displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} = 5\cdot\frac{7}{3} = \frac{5\cdot 7}{3} = \frac{35}{3}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{8}{5} = \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} = \frac{16}{15}
  4. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{10}{9} = \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}} \cdot\frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} = \frac{5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6}

Wie kommt es sich dass eine Division mit Brüchen eine Multiplikation wird? Die Erklärung ist dass ein Bruch multipliziert mit seinen Kehrbruch, immer 1 ergibt. Zum Beispiel:

\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}

In einer Division von Brüchen, erweitert man den ganzen Bruch mit den Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er.

Beispiel 10

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}


Brüche als Teil eines Ganzen

Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen, oder auch als Brüche dargestellt werden. Im Alltag verwendet man oft die rationalen Zahlen um das Verhältnis von verschiedenen Mengen zu beschreiben. Eine Berechnung von einen Verhältnis kann entweder zu einer Multiplikation, oder zu einer Division führen.

Beispiel 11

  1. Florian investiert 20 € und Julia 50 €.

    Florians Anteil ist  \displaystyle \frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}  und also sollte er  \displaystyle \frac{2}{7} des Gewinns bekommen.


  2. Was ist der Anteil von 45 € aus 100 €?

    Antwort: 45 € ist  \displaystyle \frac{45}{100} = \frac{9}{20} von 100 €. .


  3. Was ist der Anteil von \displaystyle \frac{1}{3}Liter aus \displaystyle \frac{1}{2} Liter?

    Antwort: \displaystyle \frac{1}{3} Liter sind \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3}   von  \displaystyle \frac{1}{2} Liter.


  4. Wie viel ist  \displaystyle \frac{5}{8}   von 1000?

    Antwort: \displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625


  5. Wie viel ist  \displaystyle \frac{2}{3}  von  \displaystyle \frac{6}{7} ?

    Antwort: \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}


Gemischte Ausdrücke

Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch dass es um den Zähler und Nenner in einen Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt.

Beispiel 12

  1. \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4} + \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{9}{12}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}} = 1\cdot\frac{12}{17} = \frac{12}{17}


  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{8}{6} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}} = \frac{7}{\not{6}}\cdot\frac{\not{6}}{9} = \frac{7}{9}


  3. \displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2} = \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}- \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 3}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{15}{5} - \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}} = \frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \frac{3}{\not{4}} = -\frac{3\cdot 3}{5} = -\frac{9}{5}


  4. \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\big/\frac{1}{5} -\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}} = \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}} -\frac{3\cdot1}{5\cdot3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{1} -\frac{\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} - \frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}} \displaystyle \qquad\quad{}= \frac{\displaystyle \frac{6}{5} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} + \frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

Übungen


Study advice

Basic and final tests

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Keep in mind that:

Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall.

Es ist wichtig die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern zu schreiben, ohne Probleme ausführen können. Bruchrechnungen sind oft vorkommend in rationalen Funktionen, aber auch in Grenzwerten und Derivaten, und sind daher sehr elementar in der Mathematik.


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Useful web sites

Experimenting interactively with fractions

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